Antinomie e paradossi

Un’antinomia è una contraddizione che invalida il sistema logico nel quale il discorso si articola. Se un discorso logicamente corretto porta ad una antinomia, si ha un paradosso.

Un paradosso è apparente se l’antinomia non esiste perché il discorso, che pare corretto, invece non lo è.

Se l’antinomia è reale, significa che il discorso si basa su presupposti errati o mal formulati.

L’esempio più famoso di antinomia relativa alla teoria degli insiemi è quella di Russel. Essa deriva dal fatto che i concetti di insieme e di elemento, così come sono specificati, sono mal formulati.

Infatti potremmo considerare insiemi che siano elementi di se stessi. Ad esempio se consideriamo “l’insieme di tutti i concetti”, essendo esso stesso un concetto, apparterrà a se stesso. Anche “l’insieme di tutti gli insiemi”, essendo un insieme, apparterrà a se stesso.

Vi sono, però, anche insiemi che non contengono se stessi. Ad esempio “La classe di una scuola” essendo un insieme di alunni, non contiene se stesso (una classe non è un alunno).

Vediamo, allora, come emerge l’antinomia di Russel.

Se consideriamo l’insieme di tutti gli insiemi ( che indichiamo con U), lo possiamo suddividere in due sottoinsiemi:

A: insiemi che contengono se stessi

B: insiemi che non contengono se stessi

A e B sono complementari rispetto ad U poiché un generico insieme o appartiene ad A oppure appartiene a B (non vi sono altre possibilità: un insieme o contiene oppure non contiene se stesso).

A questo punto rispondiamo alla domanda: “ B contiene si stesso ( BÎA) oppure non contiene se stesso (BÎB ) ?

Se B Î A à B è un insieme che contiene se stesso ( come tutti gli insiemi di A), ma B per definizione, è un insieme che non contiene se stesso !

Se B Î B à B contiene se stesso ma, B per definizione, è un insieme che non contiene se stesso !

Comunque si risponda alla domanda si giunge ad una contraddizione.

L’antinomia deriva dal fatto che si considera plausibile che un insieme possa appartenere (o non appartenere) a se stesso.

Per questo motivo quando abbiamo introdotto i concetti di elemento, di insieme e di appartenenza di un elemento ad un insieme, come concetti primitivi, abbiamo escluso la possibilità di considerare tale situazione.

Se da un punto di vista sostanziale questa operazione può essere considerata è corretta, non lo può essere da un punto di vista formale: come facciamo ad indicare in un modo formalmente corretto questa esclusione ?

La risposta a questo interrogativo esula dagli scopi di questo corso. Lo stesso Bertrand Russel (1872-1970) cercò di risolvere il problema mediante la “Teoria dei tipi” e la successiva “Teoria ramificata dei tipi”, approfondendo i concetti di insieme, di elemento e di appartenenza di un elemento ad un insieme che noi abbiamo sbrigativamente indicato come “concetti primitivi”.