numération

LA NUMERATION AU COURS DU TEMPS

Nous avons cherché, lors de la précédente séance, à mettre en évidence la différence entre analogique et numérique.

Un appareil est analogique s'il manipule des grandeurs qui évoluent de manière continue.

Exemple: sur les anciennes cassettes audio, ce sont des variations d'aimantation de la bande magnétique qui sont ensuite converties en variations de tension électrique, puis un haut-parleur convertit ce signal électrique en un signal acoustique.

L'aimantation de la piste varie de manière continue, c'est à dire qu'il est possible de lire les variations d'aimantation en chaque point, celle-ci varie de manière régulière et non par sauts.

Un appareil est numérique s'il manipule des grandeurs qui ne varient pas de manière continue.

Exemple: une acquisition temporelle par GTS2. Vous savez que l'ordinateur ne lit pas les tensions en chaque instant, mais seulement à intervalle de temps régulier.
Il ne peut donc pas tracer une courbe continue, mais seulement placer sur le graphe des points espacés les uns des autres.

L'ordinateur doit donc associer un nombre à chaque instant où il fait une mesure. Il doit donc savoir compter et, comme vous le savez sans doute déjà, il compte en binaire.

Mais au fait, comment les hommes ont-ils appris à compter?

Les babyloniens

Chez les Babyloniens ( environ 2000 ans av.J.C. ), les symboles utilisés sont le clou pour l’unité et le chevron pour les dizaines. Le système est additif jusqu’à 60.

Clou Chevron

Cette numération est dite de position, car le nombre dépend de la position des symboles utilisés

2	9	12	53

A partir de 60, la position des symboles entre en jeu de la façon suivante :

204	7392
3 x 60 + 24	2 x 60² + 3 x 60 + 12

Comment comptaient-ils sur leurs doigts ?

Le pouce d’une main comptait les phalanges des quatre autres doigts ( soit un maximum de 12 ) ;
une fois le maximum atteint, un doigt de l’autre main « retenait » ce 12, si bien qu’au total avec les deux mains, cela fait 5 ´ 12 = 60.

Écrire 182, 342 et 2001 en numération babylonienne : rédiger les solutions sur le compte-rendu.

Les égyptiens

Les scribes égyptiens (environ 1800 av. J.C.) représentaient 1 et les multiples de 10 par un croquis : ci-contre les représentations des nombres fractionnaires.

1	10	100	1 000	10 000	100 000	1 000 000

		Corde enroulée	Fleur de lotus	Doigt coupé	têtard	Dieu assis

Pour lire un nombre, on additionne la valeur de l’ensemble des symboles utilisés dans son écriture :

signifie 5 + 40 + 300 = 345

Cette numération est-elle une numération de position ?

Écrire 210, puis 3,5, puis 7,125 et enfin 2001 en numération égyptienne : rédiger sur le compte rendu.

Les Maya

La civilisation maya s’étend vraisemblablement de 1500 av JC à nos jours avec une apogée vers l’an 800 de notre ère. Les signes de l’arithmétique et du calendrier (aussi précis que notre calendrier actuel) ont été assez vite connus. Mais le sens de la plupart des textes nous échappe encore, et on ne parvient pas à trouver la clé qui permettrait de les traduire.

Les chiffres (glyphes) représentent des têtes de divinités vues de profil. Il y en a vingt : de zéro à dix-neuf. Les Maya avaient en effet adopté une numération vigésimale, dans laquelle les unités vont en croissant ou en décroissant de vingt en vingt : ils s'étaient rendus compte qu'en se penchant un petit peu, ils pouvaient compter aussi sur leurs orteils, d’où l’adoption de la base vingt.

Pour les calculs, ils n’utilisent pas les glyphes, mais des signes très simples :

- le point qui vaut un,

- le tiret qui vaut cinq

- une sorte d’ovale figurant la coupe d’un coquillage qui vaut zéro.

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
l	ll	lll	llll	—	l —	ll —	lll ——	llll –——	— —
11	12	13	14	15	16	17	18	19
l — —	ll — —	lll —— ——	llll –—— –——	— — —	l — — —	ll — — —	lll —— —— ——	llll –—— –—— –——

Les chiffres de un à quatre s’écrivent avec un à quatre points, de six à neuf avec un tiret surmonté de un à quatre points, dix avec deux tirets l’un au-dessus de l’autre, et ainsi de suite jusqu’à dix-neuf avec trois tirets surmontés de quatre points.

Vingt est une unité du deuxième ordre, soit un point placé en deuxième position. Car le système vigésimal maya est une numération de position, comme notre système décimal, mais au lieu de placer les unités à droite, les dizaines à gauche des unités, etc., les Maya plaçaient les vingtaines au-dessus des unités, les vingtaines de vingtaines au-dessus des vingtaines, etc.

Prenons par exemple, le nombre 643 :

Vingtaine de vingtaines : 20 ´ 20 = 20²	l	1 ´ 20²	400
Vingtaines : 20 = 20¹	ll –— —–	12 ´ 20¹	240
Unités : 1 = 20⁰	lll	3 ´ 20⁰	3
		Total	643

La civilisation Aztèque éphémère (1168, émergence de cette tribu – 1520, arrivée de Cortes le conquistadore ) utilisa aussi la numération de base 20, mais moins élaborée : un point pour une unité, un fanion pour 20, trois fanions pour 60, une branche pour 400.

Écrire les nombres 264 et 2001 en « maya »

Les chinois

Depuis 500 ans av. J.C., les Chinois ont inventé la première calculatrice dont ils se servent encore de nos jours (les jeunes élèves apprennent toujours à l’école à compter avec le boulier) avec une efficacité remarquable. Il repose sur les dix doigts de la main et sur les positions des chiffres dans le nombre.

Le boulier de 11 tiges ci-contre permet une capacité de calcul de 10¹¹ –1 unités. Attention, il est représenté ci-contre en cours de calcul (une multiplication) et le nombre final n’a pas encore un affichage optimisé.

Exprimer le plus petit et le plus grand nombre accessible.

Un boulier « se lit » de droite à gauche, la première colonne représentant les unités, la seconde les dizaines, la troisième des centaines, etc. (Certains attribuent aux deux premières : 1/100 et 1/10 )
La ligne du haut comporte deux boules qui valent chacune 5 unités,
La ligne du bas comprend 5 boules valant chacune une unité.
Les boules sont « actives » si elles sont en bas sur la ligne du haut et en haut sur la ligne du bas, donc la lecture est faite le long de la barre de séparation.

Le boulier A indique le nombre 2 948 531 soit (0+0) ;(0+0) ;(0+2) ;(5+4) ;(0+4) ;(5+3) ;(5+0) ;(0+3) ;(0+1)

Quel nombre indique le boulier B ?

Pour faire une addition, on effectue l’addition colonne par colonne en tenant compte des retenues dans la colonnes suivantes : trouvez la somme des deux nombres précédents et l'inscrire dans la case C.

La numération décimale

Dans la vie courante, nous pratiquons la numération décimale …reposant à l’origine sur nos dix doigts : les dix symboles – chiffres – permettent de représenter tous les nombres.

La position des chiffres est primordiale dans cette représentation (numération de position) : il y a quelques années déjà, vous avez appris ce qu’étaient les unités (colonne de droite), les dizaines, les centaines, etc.

Ainsi on peut écrire 4138 comme 4 x 1000 + 1 x 100 + 3 x 10 + 8 x 1

On remarque les égalités suivantes : 1000 = 10³ ; 100 = 10² ; 10 = 10¹ ; 1 = 10⁰

Donc 4138 peut s’écrire : 4 x 10³ + 1 x 10² + 3 x 10¹ + 8 x 10⁰

où 10 est appelé BASE de cette numération (ici décimale),

où chaque chiffre (compris entre 0 et 9) est soit celui des unités, dizaines, etc.

On peut généraliser cette définition à une numération à base n :
- Si n = 2 alors on a le binaire : tout nombre est écrit avec 0 et 1
- Si n = 16 alors on a l’hexadécimal : tout nombre s’écrit grâce à 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ,7, 8, 9, A, B, C, D, E, et F
- Si n = 20 on a le vigésimal (cf. les mayas)

Codage des informations en informatique

Les deux types de grandeurs susceptibles d’être codées sont :

- Les grandeurs analogiques : elles peuvent varier de manière continue vers une autre valeur sans discontinuité.

- Les grandeurs numériques (ou digitales ou discrètes) qui évoluent par saut c’est à dire par discontinuité.

Le codage binaire

C’est une grandeur numérique ne pouvant avoir que deux « valeurs » : 0 ou 1 ( donc de base …. )

Interrupteur …………

Le courant ………….

Interrupteur ……….

Le courant ……………..

Attribution à cet état

de la valeur :

L’état de cette grandeur BINAIRE est codé « sur un » BIT ( Binary Digit ) soit 2 possibilités : 0 ou 1

Nbre d’interrupteurs	Nbre de caractères codables	Ces caractères	Nbre de BIT
1	2	0, 1	1
2	4	00, 01, 10, 11	2
3
4
8

Un mot de 8 bits s’appelle un ……………et représente …….. caractères codables ou possibilités.

	0 1 1 0 1 1 0 1
Le bit le plus à gauche est le bit de POIDS le plus fort		Le bit le plus à droite est le bit de POIDS le plus faible

	Comparaison
	4 1 3 8
poids fort = milliers		poids faible = unités

Les capacités en informatique

Pour évaluer les capacités de stockage de données – donc de caractères – on utilise l’octet comme unité et surtout ses multiples :

Le kilo-octet ( Ko ) : 1 Ko = 2¹⁰ octets = ……………… octets

Le méga-octet ( Mo ) : 1 Mo = 2²⁰ octets = ……………… octets

Le giga-octet ( Go ) : 1 Go = 2³⁰ octets = ……………… octets

Rappel historique : le premier ordinateur familial (ZX Sinclair) avait 1 Ko de RAM et maintenant c’est …..

Les disquettes 5 ¼ pouces stockaient 360 Ko puis 720 Ko.

Les disquettes 3 ½ pouces stockent 720 ko puis 1,44 Mo

Les disquettes ZIP stockent 100 Mo puis 250 Mo, tandis que les bandes atteignent 50 Go et les CD Rom 650 Mo et les disques durs environ ….. o.

Les techniques de codage

Il a fallu assez tôt inventer des techniques de codage quand Blaise Pascal inventa la première machine à calculer (la « pascaline ») – il est vrai peu performante et utilisant des engrenages. La première calculatrice digne de ce nom (addition, soustraction, multiplication et même division) fut mise au point par Leibniz (1646 – 1716) célèbre philosophe et mathématicien allemand. Tout en nous familiarisant avec le maniement de la base deux (écriture des nombres, pratique des opérations), Leibniz au tout début du XVIII siècle nous en montre les avantages :

"Le calcul ordinaire d'arithmétique se fait suivant la progression de dix en dix. On se sert de dix caractères, qui sont 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, qui signifient zéro, un et les nombres suivants jusqu'à neuf inclusivement. Et puis allant à dix, on recommence, et on écrit dix par 10, et dix fois dix ou cent par 100, et dix fois cent ou Mille par 1 000, et dix fois mille par 10 000, etc.

Mais au lieu de la progression de dix en dix j'ai employé depuis plusieurs années la progression la plus simple de toutes, qui va de deux en deux, ayant trouvé qu'elle sert à la perfection de la science des nombres. Ainsi je n'y emploie point d'autres caractères que 0 et 1, et puis allant à deux, je recommence. C'est pourquoi deux s'écrit ici par 10, et deux fois deux ou quatre par 100, et deux fois quatre ou huit par 1 000, et deux fois huit ou seize par 10 000, et ainsi de suite. Voici la table des nombres de cette façon, qu'on peut continuer tant que l'on voudra."

Continuez la table de Leibniz jusqu’à 25.

Par quel chiffre se terminent les nombres pairs, les nombres impairs écrits en base 2 ?

Que constatez-vous quand on passe, en base 2, de l’écriture de 0 à 2, à 4, à 8, à 16, … ?

Un autre codage

En informatique, les données sont également codées en hexadécimal utilisant les 10 chiffres habituels auxquels on ajoute les 6 premières lettres de l’alphabet en majuscules : Donc 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. La base utilisée est donc 16 : la méthode est donc similaire au décimal en remplaçant 10 par 16.

Exemple : FAC = F´16² + A´16¹ + C´16⁰ = 15´16² + 10´16¹ + 12´16⁰ = 4012

Voici pourquoi l'hexadécimal a été choisi : un processeur n’utilise seulement que des 0 et des 1 ( binaire ). Mais c'est lourd à traduire : 1000 en hexadécimal vaut 1000000000000 en binaire.

On a choisi une écriture plus condensée : il s'agit de grouper les quartets ( donc des blocs de 4 symboles consécutifs ) du code binaire 4 par 4.

Exemple : le décimal 125 est en fait codé en mémoire par l’octet 01111101 (vérifier cette valeur)
Séparons-le en 2 quartets : 0111 – 1101. Chaque quartet binaire représente un nombre décimal : 7 – 13 (voir tableau Bibinaire), ce qui donne 7D en hexadécimal

Application pratique 1 : la couleur « vert d’eau » sur un moniteur est codée en hexadécimal 82DAB7
soit 8-2-13-10-11-7 ( tableau Bibinaire) c’est à dire 1000-0010-1101-1010-1011-0111

donc en binaire 100000101101101010110111 en mémoire, ce qui correspond au décimal 8 575 671

Application pratique 2 : le noir est codé FFFFFF, ce qui correspond à quel binaire ? à quel décimal ? Justifier l’appellation 16 millions de couleurs pour nos « micros » actuels.

Exercices

Exercice Codages n°1

Voici des informations, telles que l'on pourrait les voir à l'intérieur de la mémoire d'un ordinateur :

001111000010101000100011011000110110010101100011

011010010010000100101000011001010111001101110100

001010010010011001110101011011100011111100101011

011011010110010101110011011100110110000101100111

011001010010000100101101011100110111010101100010

011011000110100101101101011010010110111001100001

01101100001000110010101000111110

Quelle signification accorder aux informations enregistrées ? La réponse dépend du codage qui a été employé pour les enregistrer.

Décoder le "message" ci-dessus en considérant successivement :

· que des entiers naturels sont codés sur 8 bits,

· que des entiers naturels sont codés sur 16 bits,

On se limitera au début du "message".

Exercice Codages n°2

La notion d'information utilisée en informatique est définie comme le support de connaissances pouvant être exprimées par des textes, des nombres, des images, des enregistrements sonores ou vidéo...

L'ordinateur pour représenter et mémoriser ces informations, utilise toujours le codage binaire (qui ne contient que les 2 valeurs : 0 et 1). Quand on parle de "technologie numérique" ou "digitale", de "son numérique" ou de "photos numériques", cela fait référence au codage binaire qui est alors utilisé pour représenter les informations (compléments sur le binaire).

L'informatique a introduit massivement ces technologies dites "numériques", en opposition à la "technologie analogique" selon laquelle une grandeur (le volume d'un son par exemple) est représentée - par analogie - par une autre grandeur continue proportionnelle à la première ( l'intensité d'un champ magnétique par exemple, dans un magnétophone à cassettes ).

Le numérique a l'avantage sur l'analogique de ne pas craindre de petites altérations : un chiffre binaire vaut 0 ou 1 mais jamais 0,99. Une information numérisée (codée en binaire) peut ainsi être copiée à l'identique.

Un octet contient 8 chiffres binaires (en abréviation bit, pour BInary digiT): on a ainsi 2⁸ = 256 valeurs différentes pour un octet : 00000000, 00000001, 00000010, 00000011, 00000100 ...

Pour représenter moins de 256 informations différentes, on peut donc se contenter d'un octet : il suffit alors de choisir arbitrairement quel code attribuer à quelle information. C'est ce qui est fait pour les caractères. Bien que totalement arbitraire, un codage a cependant intérêt à être partagé par le plus grand nombre possible d'ordinateurs; en effet ce sont les codes qui sont transmis lors de communications entre ordinateurs, d'où l'intérêt des normalisations.

Pour représenter plus d'informations ou des informations plus complexes, la solution consiste à utiliser autant d'octets que nécessaire, rangés les uns après les autres dans la mémoire de l'ordinateur.

Un écran comporte une palette de 256 couleurs.

1)Combien faut – il d’octet pour les représenter ?

2)Grâce à un scanner, vous enregistrez une photo numérique d’un format 1024 par 1024 points.
N.B. 1024 octets = 1 Ko (ne pas confondre avec k qui signifie 1000 : 1 kg = 1000 g)

Quelle quantité d’octet faut – il ?Traduire ce chiffre en méga – octet (Mo).

3) Pour représenter un texte écrit (sans information de mise en page), que l'ordinateur considère comme une suite de caractères (alphabétiques, symboles de ponctuation, espaces et passages à la ligne) sur une page, combien faut-il d’octets ?

A quelle quantité de pages correspond une photonumérisée ?