TESSERE  di    MAC MAHON    SU   SUPERFICI  TRIDIMENSIONALI

INTRODUZIONE
Una serie di pezzi di Mac Mahon è costituita generalmente da un insieme  di tessere quadrate o triangolari colorate su ogni lato o su ogni vertice con n colori.
Se, ad esempio, i lati di un quadrato vengono contrassegnati in tutti i modi possibili con 3 simboli,  si otterrà un insieme di 24 differenti pezzi.
Se un pezzo coincide con un'altro dopo essere stato ruotato, viene considerato identico.
Il problema è essenzialmente quello di posizionare queste tessere seguendo due regole fondamentali:
- Se i pezzi sono colorati lungo i lati , lati adiacenti devono avere lo stesso colore.
- Se i pezzi sono colorati ai vertici, tutti i vertici che si incontrano in uno stesso punto devono avere colori differenti.
A  ottanta anni dall'uscita del libro di Percy MacMahon "New Mathematical Pastime", mi meraviglio del  poco lavoro di indagine svolto intorno a queste serie colorate che nondimeno nascondono sorprese interessanti.
MacMahon nel suo libro propone perlopiu' problemi bidimensionali, per questo utilizza tessere quadrate o triangolari, più idonee a saturare il piano, ma questo tipo di  tassellatura presenta un difetto di forma, difatti i bordi esterni delle figure composte non entrano in gioco, oppure devono sottostare a regole diverse.
Ho indagato sulla possibilità di collocare queste tessere su superfici di poliedri piu' o meno regolari.
In questo modo, si ottengono costruzioni più "perfette" perchè tutti i pezzi sottostanno alla stessa regola, in più la varietà dei pezzi che potremo utilizzare è maggiore, perchè le facce interessate possono essere rettangoli, rombi, trapezi, triangoli iscosceli ecc.
Ho diviso l'argomento in 4 sezioni:
- Enumerazione dei pezzi
- Individuazione di possibili costruzioni
- Soluzioni
- Bibliografia


CLASSIFICAZIONE ED ENUMERAZIONE DEI PEZZI
Per la classificazione dei pezzi ci sono due caratteristiche fondamentali che vanno considerate RIPETIZIONE e RIFLESSIONE.

Con RIPETIZIONE si intende la possibilità che più lati di una stessa tessera  siano dello stesso colore.
Ovviamente in quelle serie dove la ripetizione è ammessa un solo colore è sufficiente per ottenere almeno una tessera, in quelle serie dove la ripetizione non è ammessa, occorreranno almeno tanti colori quanti sono i lati dei pezzi considerati.

Con RIFLESSIONE identifichiamo quelle coppie di pezzi  con  colorazione speculare (Enantiomorfi).
Pertanto in quelle serie dove la riflessione è ammessa, due pezzi speculari sono considerati distinti, in quelle serie dove la riflessione non è ammessa, le due colorazioni speculari convivono sulla stessa tessera, che in questo caso è colorata su entrambe le facce e diviene così un pezzo reversibile.

Dopo questa premessa possiamo considerare 4 tipi di famiglie che chiameremo A,B,C,D secondo lo schema seguente:


 Ripetizioni
 Riflessioni
 A
           Si          Si
 B
           No
          Si
 C
           Si
          No
 D
           No
          No

Utilizzando note formule combinatorie possiamo ora contare di quante tessere è composta ciascuna famiglia in base alla forma delle tessere: Triangoli equilareri, quadrati ecc., ed in base al numero di colori n utilizzati.


TRIANGOLI EQUILATERI    (TRE)
                                    Formule                                 n =               1                    2                   3                     4                   5                    6                    7
A
 (n^3+2n)/3
 1
4
 11
 24
 45
 76
 119
B n(n-1)(n-2)/3
 -
 -
 2
 8
 20
 40
 70
C
 n(n^2+3n+2)/6
 1
 4
 10
 20
 35
 56
 84
D
 n(n-1)(n-2)/6
 -
 -
 1
 4
 10
 20
 35



TRIANGOLI  ISOSCELI   (TRI)
                                    Formule                                 n =               1                    2                   3                     4                   5                    6                    7
A
 n^3
 1
 8
 27
 64
 125
 216
 343
B n(n-1)(n-2)
 -
 -
 6
 24
 60
 120
 210
C
 n^2(n+1)/2
 1
 6
 18
 40
 75
 126
 196
D
 n(n-1)(n-2)/2
 -
 -
 3
 12
 30
 60
 105



QUADRATI   (QUA)
                                    Formule                                 n =               1                    2                   3                     4                   5                    6                    7
A
 (n^4+n^2+2n)/4
 1
 6
 24
 70
 165
 336
 616
B n(n-1)(n-2)(n-3)/4
 -
 -
 -
 6
 30
 90
 210
C
 n(n-1)(n^2+n+2)/8
 1
 6
 21
 55
 120
 231
 406
D
 n(n-1)8n-298n-3)/8
 -
 -
 -
 3
 15
 45
 105



DELTOIDI  E  TRAPEZI ISOSCELI  (DEL) e (TRA)
                                    Formule                                 n =               1                    2                   3                     4                   5                    6                    7
A
 n^4
 1
 16
 81
 256
 625
 1296
 2401
B n(n-1)(n-2)(n-3)
 -
 -
 -
 24
 120
 360
 840
C
 (n^4+n^2)/2        Deltoidi
 1
 10
 45
 136
 325
 666
 1225
C
 n^3(n+1)/2          Trapezi
 1
 12
 54
 160
 375
 756
 1372
D
     n(n-1)(n-2)(n-3)/2       
    -   
-
-
12
60
180
420



ROMBI  E  RETTANGOLI   (ROM) e (RET)
                                    Formule                                 n =               1                    2                   3                     4                   5                    6                    7
A
 (n^4+n^2)/2
 1
 10
 45
 136
 325
 666
 1225
B n(n-1)(n-2)(n-3)/2
 -
 -
 -
 12
 60
 180
 420
C
 n^2(n^2+3)/4           Rombi
 1
 7
 27
 76
 175
 351
 637
C
 n^2(n^2+2n+1)/4          Rettangoli
 1
 9
 36
 100
 225
 441
 784
D
     n(n-1)(n-2)(n-3)/4     
    -   
-
-
         6       
30
90
210
ù


PENTAGONI  REGOLARI   (PEN)
                                    Formule                                 n =               1                    2                   3                     4                   5                    6                    7
A
 n(n^4+4)/5
 1
 8
 51
 208
 629
 1560
 3367
B n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)/5
 -
 -
 -
 -
 24
 144
 504
C
 n(n^4+5n^2+4)/10
 1
 8
 39
 136
 377
 888
 1855
D
 n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)/10
 -
 -
 -
 -
 12
 72
 252




POSSIBILI  COSTRUZIONI
Osservando le  tavole precedenti  e' possibile individuare  un notevole numero di combinazioni  che  possono  dar  luogo  a  differenti  poliedri.
Per le regole suddette:  SU = Spigoli Uguali,  VD = Vertici Differenti
Ecco un elenco di 39 problemi ammissibili.

Num
 POLIGONI
 SIGLA
 PEZZI
 POLIEDRO
REGOLA
1
 Triangoli Equilateri
 B4
 8
 Ottaedro
 SU
2
 Triangoli Equilateri
 B4
 8
 Ottaedro
 VD
3
 Triangoli Equilateri
 B5
 20
 Icosaedro
 SU
4
 Triangoli Equilateri
 B5
 20
 Icosaedro
 VD
5
 Triangoli Equilateri
 A4
 24
 Stella Octangula di Keplero
 SU
6
 Triangoli Equilateri
 A4
 24
 Tetrachisesaedro
 SU
7
 Triangoli Isosceli
 B4
 24
 Triachisottaedro
 SU
8
 Triangoli Isosceli
 D4
 12
 Triachistetraedro
 SU
9
 Triangoli Isosceli D4
 12
 2 su ogni faccia del cubo
 SU
10
 Triangoli Isosceli D4
 12
 Cubo Cavo
 SU
11
 Triangoli Isosceli D4
 12
 Ottaedro Cavo
 SU
12
 Triangoli Isosceli C3
 18
 3 su ogni faccia di 2 tetraedri uniti
 SU
13
 Triangoli Isosceli
 B4
 24
 Tetrachisesaedro
 SU
14
 Triangoli Isosceli
 B5
 60
 Piccolo Dodecaedro Stellato
 SU
15
 Triangoli Isosceli
 B5
 60
 Triachisicosaedro
 SU
16
 Quadrati
 B4
 6
 Cubo
 SU
17
 Quadrati+Tri.Equi.
 B4+B4
 6+8
 Cubottaedro
 SU
18
 Quadrati+Tri.Equi.
 B4+B4
 6+8
 Cubottaedro
 VD
19
 Quadrati
 A3
 24
 Cubo 2x2x2
 SU
20
 Quadrati
 B5
 30
 Stella di 7 cubi
 SU
21
 Rombi
 D5
 30
 Triacontaedro Rombico
 SU
22
 Rombi
 B4
 12
 Dodecaedro Rombico
 SU
23
 Rett+Quadr+TriEqui
 B4
 12+6+8
 Cubo Smussato
 SU
24
 Rett+Quadr+TriEqui
 B4
 12+6+8
 Cubo Smussato
 VD
25
 Rett+Pent+TriEqui
 D5+D5+B5
 30+12+20
 Dodecaedro Smussato
 SU
26
 Deltoidi
 D5
 60
 Esacontaedro Trapezioidale
 SU
27
 Deltoidi
 D5
 60
 Piccolo Triacontaedro Stellato
 SU
28
 Trapezi+Quadrati
 B4+B4
 24+6
 6 Piramidi Tronche sul Cubo
 SU
29
 Trapezi+TriEqui
 D4+D4
 12+4
 4 Piramidi Tronche sul Tetraedro
 SU
30
 Trapezi+TriEqui
 B4+B4
 24+8
 8 Piramidi Tronche sull'Ottaedro
 SU
31
 Trapezi+Pentagoni
 D5+D5
 60+12
 12 Piramidi Tronche sul Dodecaedro
 SU
32
 Pentagoni+TriEqui
 D5+B5
 12+20
 Icosidodecaedro
 SU
33
 Penta+TriEqui+Quadr
 D5+B5+B5
 12+20+30
 Piccolo Rombicosidodecaedro
 SU
34
 Deltoidi
 D4
 12
 3 su ogni faccia del Tetraedro
 SU
35
 Deltoidi
 B4
 24
 3 su ogni faccia dell'Ottaedro
 SU
36
 Triangoli Isosceli
 D5
 30
 Icosaedro Cavo
 SU
37
 Triangoli Isosceli
 D5
 30
 Dodecaedro Cavo
 SU
38
 Pentagoni
 D5
 12
 Dodecaedro
 SU







BIBLIOGRAFIA
a) P.A. MacMahon  e J.R.Jocelyn UK pat. 3927. Gennaio 1893. Sono i 24 TriangoliEqui. A4.
b) P.A. MacMahon "New Mathematical Pastime"  Cambridge 1921. Descrive i 24 (TRI) A4, 24 (QUA) A3 e  I 30 Cubi.
c) Martin Gardner "New Mathematical Diversions" Fireside 1966. 24 (QUA) A3,  30 Cubi. Riporta i risultati di una analisi al computer fatta da  G.Feldman
                               del rettangolo 6x4 con 12261 soluzioni.
d) M.Gardner"Weels, Life....." Freeman 1983 a pag. 23 da' le 3 sol. del prob. 38 descritte da Conway col nome di Quintomino in Eureka Ott.1959.
e) M.Odier "Pattern in Space" in Games and Puzzles #41 Ott.1975. Descrive un icosaedro magnetico con tessere triangolari venduto dalla compagnia francese
                              Anvar, riporta una soluzione del tipo VD
f) "Enigma" dodecaedro in plastica che riproduce il prob. 38 venduto negli USA nel 1972.
g)  W.E.Philpott "Journal of Recreational Mathematics" vol.7 1974 pp. 266-275. Riporta il prob. 19 e dice che fu proposto da J.B.Haley e H.Nelson.