E' difficile separare la matematica dai problemi, anzi per qualcuno è proprio nell'esigenza dell'uomo di risolvere problemi che sta la sua origine e la sua ragion d'essere. Come del resto è comune associare il concetto di problema a quello di calcolo. Eppure non è sempre così; problema significa spesso strategia e comprensione delle condizioni sottese; la fase del calcolo, quando è possibile applicarla, è spesso il momento di sintesi, la sua formalizzazione.

In questa sezione verranno presentati alcuni problemi (la maggior parte classici) che hanno la caratteristica di permettere, attraverso la loro risoluzione, di "fare" della matematica, coinvolgendo spesso, al di là dell'apparenza, questioni matematiche o logiche non banali.

Per avere la soluzione dei problemi, ti basterà cliccare sul titolo o sul numero con cui il problema è indicato. Buon divertimento.

Il problema dei cappelli

E' un classico problema di induzione sul finito. Supponi che tre persone siano sedute su tre sedie in fila indiana (ognuno vede solo quelli, o quello, che gli stanno davanti; le sedie sono numerate in modo progressivo e la sedia n°1 è occupata dall’unico che vede gli altri due, mentre la sedia n°3 da colui che non vede nessuno degli altri due). Sono portati 5 cappelli: 3 bianchi e 2 neri. Le tre persone sono bendate e sulle loro teste viene messo uno dei 5 cappelli. Successivamente sono tolte le bende e viene chiesto a ciascuno di dire il colore del proprio cappello (ognuno vede il colore di quelli, o di quello, che gli stanno davanti, ma non il proprio, ovviamente). Alla domanda il n°1 risponde: “Non lo so”; anche il n°2 risponde “Non lo so”. Il n°3, al proprio turno di risposta, risponde “Sì, so il colore del mio cappello”. Di che colore è il cappello del n°3? Quale ragionamento ha fatto per scoprirlo? E’ possibile stabilire il colore dei cappelli delle altre due persone? Generalizza il problema con un numero n qualunque di persone e con n cappelli bianchi e n-1 cappelli neri, stabilendo in particolare come deve mettere i cappelli il conduttore del gioco (colui cioè che pone i cappelli sulle teste delle persone) affinché solo il numero n individui il proprio colore.

Il monaco tibetano

Un monaco tibetano abita alle pendici di un monte sulla cui sommità è posto un monastero in cui 

tutti i mesi il monaco va a pregare. Un’unica strada, lunga 34,6 km porta dalla casa del monaco al monastero. Il giorno adibito alla preghiera, il monaco parte sempre alle otto di mattina, percorre la strada facendo anche alcune soste per riposare o pregare; a volte corre preso dalla frenesia, ma arriva sempre puntuale alle otto di sera, ora d’apertura del monastero. Prega tutta notte e riparte per il ritorno alle otto del mattino seguente. La stanchezza e le tappe obbligate lungo il tragitto lo fanno arrivare a casa esattamente alle otto di sera, nonostante la strada in discesa.

Dimostra che esiste un punto lungo il tragitto in cui il monaco passa alla stessa ora sia all’andata sia al ritorno.

Un problema di aritmetica....semantica

A casa di un noto matematico, Loga Ritmo, abitante in via Verdi 36, si presenta un addetto del comune per dei rilevamenti statistici. Alla domanda sul numero dei figli e sulle loro età il signor Ritmo risponde:

‘Ho tre figli e, caso strano, il prodotto delle loro età coincide col numero civico della mia abitazione, mentre la somma delle loro età è uguale al numero civico della casa difronte’.

L’addetto, prestandosi al gioco, dopo alcuni conti chiede nuove informazioni. Il signor Ritmo aggiunge allora, sorridendo, che per rispondere bastava sapere che il figlio maggiore ha gli occhi azzurri.

Quali sono le età dei tre figli?”

PROBLEMI VARI DI LOGICA DEDUTTIVA

ESERCIZIO SVOLTO. Ci sono problemi di carattere logico che risulta in genere piuttosto arduo risolvere. La difficoltà, spesso, è data dall’incapacità di tradurli in un modo operativo. In alcuni casi ciò è possibile attraverso la costruzione di tavole di verità associate a particolari proposizioni. Consideriamo come esempio il seguente quesito, tratto da quella fonte pressoché inesauribile di problemi di questo tipo costituito dal libro “QUAL E’ IL TITOLO DI QUESTO LIBRO” di R. Smullyan, da cui è tratto il problema proposto come esercizio svolto e gli esercizi 1)-22).

In un’isola ci sono due tipi di persone: i furfanti (mentono sempre) e i cavalieri (dicono sempre la verità). Su un’isola di questo tipo corre voce che vi sia sepolto dell’oro. Voi arrivate su quest’isola e chiedete ad uno dei nativi, A, se c’è oro su quest’isola. Egli dà la seguente risposta: ‘Sull’isola c’è oro se e solo se io sono un cavaliere’. Stabilisci:

a) si può determinare se A è un cavaliere o un furfante?

b) si può determinare se c’è oro sull’isola?

Indicando con O la proposizione ‘sull’isola c’è oro’ e con C(a) la proposizione ‘A è un cavaliere’, la risposta fornita si formalizza con la fbf O«C(a), la cui tavola di verità è la seguente:

Come leggere la tavola di verità in relazione al problema? Poiché i cavalieri dicono il vero e i furfanti mentono, il valore di verità relativo alla formula atomica C(a) deve coincidere con quello del connettivo « (cioè se l’interlocutore è un cavaliere la proposizione dev’essere vera; viceversa se è un furfante) e questo succede solo in corrispondenza delle ultime due righe. Non è possibile stabilire quindi se stiamo parlando con un cavaliere o con un furfante, ma è certo che sull’isola c’è dell’oro.

  1) Supponiamo che, nel caso del problema precedente, tu abbia chiesto ad A: “L’affermazione che tu sei un cavaliere è equivalente all’affermazione che c’è oro su quest’isola?”. Se avesse risposto “Sì” il problema si sarebbe ridotto al precedente. Supponiamo che abbia risposto “No”. Si potrebbe allora dire se c’è oro sull’isola?

  2) Supponiamo che una persona, di cui non si sa se è un cavaliere o un furfante, faccia le seguenti affermazioni:

a) Io amo Linda;

b) Se amo Linda allora amo Kathy.

E’ un cavaliere o un furfante?

(Suggerimento: formalizzando con L la a) e con L®K la b), costruisci la tavola di verità di L...L®K, dopo aver stabilito il connettivo da mettere al posto dei puntini)

   3) Supponiamo che qualcuno mi chieda: ”E’ proprio vero che se tu ami Betty allora ami anche Jane?”. Io rispondo: ”Se è vero, allora amo Betty”. Ne segue che amo Betty? Ne segue che amo Jane?  

4) Supponiamo che le due seguenti proposizioni siano vere:

a) Io amo Betty o amo Jane.

b) Se amo Betty allora amo Jane.

Ne segue necessariamente che io amo Betty?

Ne segue necessariamente che io amo Jane?

  5) Abbiamo due persone, A e B, ognuna delle quali è un cavaliere o un furfante. Supponiamo che A faccia la seguente affermazione: “Se io sono un cavaliere, allora lo è anche B”. Si può determinare che cosa sono A e B?

  6) Qualcuno chiede ad A: ”Siete un cavaliere?”. Egli risponde: “Se sono un cavaliere, allora mi mangerò il cappello!”.

Dimostrare che A deve mangiarsi il cappello.

   7) A dice: “Se io sono un cavaliere, due più due fa cinque”. Che cosa concludi?

  8) A dice: “O io sono un furfante oppure due più due fa cinque”. Che cosa concludi?

 9) Ci sono due persone A e B, cavalieri o furfanti. A dice: “Se B è un cavaliere, io sono un furfante”. Che cosa sono A e B?

 10) Supponiamo che A dica: “O io sono un furfante o B è un cavaliere”. Che cosa sono A e B?

 11) Supponiamo che A dica: “Io sono un furfante, ma B non lo è”. Che cosa sono A e B?

 12) Una volta, quando visitai l’isola dei cavalieri e dei furfanti, mi imbattei in due abitanti che riposavano sotto un albero. Chiesi a uno di loro: “Uno di voi due è un cavaliere?” Egli rispose e seppi la risposta alla mia domanda. Cos’è la persona a cui feci la domanda? E che cos’è l’altro?

 13) Ci sono tre persone A, B, C ognuna delle quali è un cavaliere o un furfante. A e B fanno le seguenti affermazioni:

A: Siamo tutti furfanti.

B: Solo uno di noi è un cavaliere.

Che cosa sono A, B e C?

 14) Supponiamo invece che A e B facciano le seguenti affermazioni:

A: Siamo tutti furfanti.

B: Solo uno di noi è un furfante.

Si può determinare che cos’è B? Si può determinare che cos’è C?

 15) Due individui X e Y sono processati per aver partecipato ad un furto. A e B sono testimoni e ognuno di essi  è un cavaliere o un furfante. I testimoni fanno le seguenti dichiarazioni:

A: Se X è colpevole lo è anche Y.

B: O X è innocente o Y è colpevole.

A e B sono necessariamente dello stesso tipo? (ambedue cavalieri o ambedue furfanti)

 16) Sull’isola dei furfanti e dei cavalieri, tre abitanti A,B, C sono intervistati. A e B fanno le seguenti affermazioni:

A: B è un cavaliere.

B: Se A è un cavaliere lo è anche C.

Si può determinare che cosa sono A, B e C?

Alcuni problemi di deduzione:

 17) Ci sono tre ragazze: Susanna , Marzia e Diana. Supponiamo che siano vere le seguenti affermazioni:

a) Io amo almeno una delle tre ragazze.

b) Se amo Susanna ma non Diana, allora amo anche Marzia.

c) O io amo sia Diana che Marzia, o nessuna delle due.

d) Se amo Diana, allora amo anche Susanna.

Quali ragazze amo?

 18) Supponiamo che vi siano due isole vicine, ognuna delle quali abitata esclusivamente da cavalieri e furfanti. Ti è detto che in una delle due isole c’è un numero pari di cavalieri e che nell’altra isola essi sono in numero dispari. Ti viene anche detto che c’è oro nell’isola contenente un numero pari di cavalieri, ma che non c’è oro nell’altra isola. Scegli a caso una delle due isole e ci vai. Tutti gli abitanti sanno quanti cavalieri e quanti furfanti vivono nell’isola. Interroghi tre abitanti A, B  e C ed essi fanno le seguenti dichiarazioni:

A: Su quest’isola c’è un numero pari di furfanti.

B: In questo momento c’è un numero dispari di persone sull’isola.

C: Io sono un cavaliere se e solo se A e B sono dello stesso tipo.

Supponendo che tu non sia né un cavaliere né un furfante e che al momento tu sia l’unico visitatore dell’isola, c’è oro o no sull’isola?

 19) Un uomo era processato per furto. Il pubblico ministero e l’avvocato difensore fecero le seguenti affermazioni:

Pubblico Ministero: ‘Se l’imputato è colpevole, allora ebbe un complice’.

Avvocato difensore: ‘Non è vero!’

L’uomo fu condannato. Perché?

 20) Tre uomini A, B e C furono processati per furto. Furono accertati i seguenti fatti:

a) se A è innocente o B è colpevole, allora C è colpevole;

b) se A è innocente, allora C è innocente.

Si può stabilire per ognuno dei tre se è colpevole o innocente?

 21) In questo caso sono coinvolti quattro imputati A, B, C e D. Furono accertati i seguenti fatti:  

a) se A è colpevole, allora B fu suo complice;

b) se B è colpevole, allora o C fu suo complice oppure A è innocente;

c) se D è innocente, allora A è colpevole e C è innocente;

d) se D è colpevole, lo è anche A

Chi è colpevole e chi innocente?

 22) “Che cosa riesce a dedurre da questi fatti?” chiese l’ispettore Craig al sergente McPherson.

a) se A è colpevole e B innocente, allora C è colpevole;

b) C non lavora mai da solo;

c) A non lavora mai con C;

d) nessun altro tranne A, B e C era implicato e almeno uno di essi era colpevole.

Il sergente si grattò la testa e disse : “Non molto, temo. Lei riesce a dedurre da questi fatti chi è innocente e chi colpevole?”

“No” rispose Craig, “ma c’è materiale sufficiente per incriminare con certezza uno di essi”.

Di chi si può affermare che è colpevole senza sbagliare?

 23) Supponi di avere quattro carte, due coperte e due scoperte. Sulle due scoperte c’è il cinque di picche e il quattro di quadri; le due coperte presentano un dorso blu ed un dorso rosso. Quante e quali carte devi girare per stabilire se l’affermazione “Se una carta ha il dorso blu è dispari” è vera?

 24) ‘Uno è bugiardo’ disse Cucciolo.

   ‘Due sono i bugiardi’ disse Brontolo.

   ‘Tre sono i bugiardi’ disse Eolo.

   ‘Quattro sono i bugiardi’ disse Mammolo.

    ‘Cinque sono i bugiardi’ disse Pisolo.

    ‘Sei sono i bugiardi’ disse Dotto.

    ‘Sette sono i bugiardi’ disse Gongolo.

    ‘Otto sono i bugiardi’ disse Biancaneve.

Chi dice la verità?

 25) Quattro persone A, B, C, e D fanno le seguenti coppie di affermazioni. Una delle due è vera, mentre l’altra è falsa:

A: “Io sono un rospo trasformato in principe. Almeno tre di noi sono rospi”

B: “Due di noi sono rospi. Io sono un principe”

C: “Io sono un principe. D mente sempre”

D: “Solo uno di noi è un rospo. Io sono un rospo trasformato in principe”

Ci sono rospi? Chi sono?

 26) Lewis Carroll, l’autore di ‘Alice nel paese delle maraviglie’, era anche un illustre logico. Quella che segue è una sequenza di frasi da lui inventata da cui si deve trarre una conclusione che discenda da tutte:

a) Gli unici animali di questa casa sono gatti 

(NB. Nel testo originale si parla di felini, con qualche difficoltà per la correttezza della deduzione).

b) Ogni animale che ami guardare la luna è addomesticato.

c) Quando io detesto un animale lo evito.

d) Nessun animale è carnivoro, a meno che non vada in giro di notte.

e) Nessun gatto si astiene dall’uccidere i topi.

f) Nessun animale mi appartiene eccetto quelli che sono in questa casa.

g) I canguri non sono addomesticabili.

h) Nessun animale, eccettuati i carnivori, uccide i topi.

i) Io detesto gli animali che non mi appartengono.

l) Gli animali che vanno in giro di notte amano sempre guardare la luna.

Qual è la conclusione?

 27) Ti potrà capitare, andando in paesi esotici, di imbatterti in tribù poco comprensive nei confronti di chi invade a loro insaputa il loro territorio. Una di queste tribù, che ritiene sacro il proprio habitat, per preservarlo condanna a morte chiunque lo violi, lasciando però al condannato la scelta se essere immolato al Dio della menzogna o al Dio della verità. Nel primo caso il malcapitato dovrà dire una bugia, nel secondo caso una verità. Quale risposta dovresti dare per salvarti nel caso ti imbattessi in questa tribù?

 28) Nella tribù vicina a quella citata nel problema precedente si preferisce andare sul sicuro, pur lasciando agli usurpatori una parvenza di speranza. Ai prigionieri sono presentate due arance perfettamente uguali all’esterno, ma una con la polpa bianca, l’altra con la polpa rossa. Se il prigioniero sceglie l’arancia con la polpa rossa è sacrificato al Dio che protegge il territorio, se sceglie quella con la polpa bianca viene liberato. Apparentemente la vita è affidata al caso; ma lo stregone, appunto per non correre rischi, porta sempre al prigioniero due arance con la polpa rossa. Ora lo sai: se quindi malauguratamente invadi il territorio di quella tribù, come potresti fare per salvarti sicuramente? (ricorda, a scanso d’equivoci, che lo stregone è sacro e che mettere in discussione la sua autorità, ad esempio tagliando le due arance per smascherarlo, è ancor più grave che oltrepassare i loro confini).

 29) Durante una cena quattro amici A, B, C e D discutono, come al solito, di politica:

“Alcuni politici sono disonesti, ma non tutti” sostiene A.

“Sicuramente esiste un politico onesto” sostiene B.

“Vi garantisco che sono tutti disonesti” sostiene C.

“E tu che cosa ne pensi?” chiesero a D.

“Non ho abbastanza esperienza in fatto di politica e di politici per rispondere. So solo che delle tre affermazioni che avete fatto due possono essere entrambe vere, ma non entrambe false; viceversa due possono essere entrambe false, ma non entrambe vere”.

Sapresti dire anche tu quali sono queste due coppie di affermazioni?

Per concludere ti propongo due problemi tuttora aperti dell’aritmetica, cioè asserzioni di cui sino ad ora non si è ancora trovata o una dimostrazione o un controesempio che li confuti:

1) Ogni numero pari è somma di 2 numeri primi (congettura di Goldbach)

2) Esistono numeri perfetti dispari (un numero è perfetto se è uguale alla somma dei suoi divisori, escluso il numero stesso); sino ad ora si sono trovati solo numeri perfetti pari.

Pensaci su; se riuscissi a dimostrarli, otterresti fama e gloria presso tutti i matematici, oltre che la loro riconoscenza!