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Informazione Teoria

Esercizi sulla probabilità

Esercizio 1°

Calcolare la probabilità che esca una figura in un mazzo di 52 carte da gioco

Soluzione:

E = 4Jack 4Queen 4King = 12 figure

S = 52 ( n° delle carte da gioco )

Esercizio 2°

Calcolare la probabilità che esca una sola testa lanciando due volte una moneta

Soluzione:

Combinazioni possibili

T

T

T

C

C

T

C

C

E = 2 ( combinazioni: testa-croce croce-testa )

S = 4

Esercizio 3°

Calcolare la probabilità che lanciando 3 monete:

A – escano due teste
B – non esca nessuna testa
C – esca una sola testa
D – escano tre teste

Soluzione:

Spazio degli eventi

A

B

C

D

T T T

     

X

T T C

X

     

T C T

X

     

T C C

   

X

 

C T T

X

     

C T C

   

X

 

C C T

   

X

 

C C C

 

X

   

Esercizio 4°

Calcolare la probabilità che lanciando due dadi:

A - la somma sia 5
B - escano due 1

Soluzione:

A)

1

B

   

A

   

2

   

A

     

3

 

A

       

4

A

         

5

           

6

           
 

1

2

3

4

5

6

S = 6·6 = 36 ( spazio degli eventi )

E = 4

B)

E = 1

Esercizio 5°

In un’urna ci sono 3 palline bianche e 2 nere. Calcolare la probabilità che in due estrazioni
( reintroducendo la pallina estratta prima di estrarre la seconda palline ):
A - escano due palline nere *
B - escano due palline bianche +
C - due palline di diverso colore -

Soluzione:

B

+

+

+

-

-

B

+

+

+

-

-

B

+

+

+

-

-

N

-

-

-

*

*

N

-

-

-

*

*

 

B

B

B

N

N

S=25

Esercizio 6°

Si hanno 7 lampadine buone ( B ) e 3 rotte ( R ). Calcolare la probabilità che estraendone due a caso ( senza reinserire la prima lampada ) siano entrambe buone.

Soluzione:

Probabilità che la prima volta la lampadina sia buona

Ora restano nove lampadine in tutto e 6 buone. La probabilità che ( dopo avere tolto la prima ) la seconda sia buona sarà data da:

P(B2|B1) è detta probabilità condizionata. E’ la probabilità che la seconda volta la lampadina sia buona ( B2 ), probabilità condizionata dal fatto che la prima volta è uscita una lampadina buona ( B1 ).

La probabilità che entrambe le lampadine siano buone è data da:

Prima

Estrazione

 

B

X

X

X

X

X

X

     

B

X

X

X

X

X

X

     

B

X

X

X

X

X

X

     

B

X

X

X

X

X

X

     

B

X

X

X

X

X

X

     

B

X

X

X

X

X

X

     

B

X

X

X

X

X

X

     

R

                 

R

                 

R

                 
 

B

B

B

B

B

B

R

R

R

Seconda

Estrazione

P(B1|B2) è la probabilità composta cioè la probabilità che la seconda volta la lampadina sia buona dopo che è stata estratta la prima buona. Allo stesso risultato si perviene moltiplicando

Esercizio 7°

In un’urna ci sono tre palline nere e due bianche. Calcolare la probabilità che esca prima una nera e dopo una bianca senza reimmissione nell’urna della prima pallina.

Soluzione:

Prima

Estrazione

         

N

   

X

X

 

N

   

X

X

 

N

   

X

X

 

B

         

B

         
 

N

N

B

B

Seconda

Estrazione

Probabilità che la prima volta esca una pallina nera:

Probabilità che la seconda volta esca una pallina bianca dopo che è stata estratta una pallina nera:

Esercizio 8°

Calcolare la probabilità di estrarre tre assi di seguito da un mazzo di 52 carte ( carte francesi ).

Soluzione:

Probabilità che la prima volta esca un asso ( E = 4 S = 52 )

Restano 51 carte e 3 assi.

Probabilità che la seconda volta esca un asso ( E = 3 S = 51 )

Restano 50 carte e 2 assi.

Probabilità che la seconda volta esca un asso ( E = 2 S = 50 )

Probabilità che escano tre assi di seguito:

Esercizi sull’informazione

Esercizio 1°

Si hanno due urne. Nella prima ci sono due palline rosse ( R ) e due bianche ( B ). Nella seconda ci sono tre palline
verdi ( V ) e quattro nere ( N ). Calcolare l’informazione che si ottiene estraendo una pallina bianca dalla prima urna e
una verde dalla seconda urna.

Soluzione:

La probabilità di estrarre una pallina rossa vale:

L’informazione fornita dall’estrazione di una pallina rossa vale:

La probabilità di estrarre una pallina verde vale:

L’informazione fornita dall’estrazione di una pallina verde vale:

In questo caso si capisce che conviene misurare l’informazione in bit di informazione Biti e non solo in bit ( non ci sono zeri e uno ).

L’informazione complessiva sarà data dalla somma delle singole informazioni. L’informazione che si ottiene estraendo una pallina rossa dalla prima urna e una verde dalla seconda urna vale:

Altro metodo:

La probabilità che si estragga una pallina bianca dalla prima urna e una verde dalla seconda urna vale:

L’informazione associata all’evento estrazione di una pallina bianca dalla prima urna e una verde dalla seconda urna vale:

Esercizio 2°

Al ricevitore arrivano tre simboli A, B, C, la probabilità del loro arrivo vale PA = 1, PB = 0, PC = 0.
Calcolare l’informazione media pesata ( entropia ).

Soluzione.

IL secondo e terzo addendo sono del tipo:

Si applica il teorema di Bernoulli ( Hospital )

Si ha la certezza che arriverà sempre il simbolo A ( PA = 1 ). Al ricevitore non giunge alcuna informazione media.

Esercizio 3°

In un’urna vi sono delle palline bianche e delle palline nere. Calcolare l’informazione media che si ottiene estraendo una pallina al variare del rapporto tra le palline bianche e quelle nere. Calcolare inoltre quale deve essere il rapporto tra le palline bianche e nere per avere la massima informazione.

Soluzione:

Si indichi con P la probabilità di estrarre una pallina bianca. La probabilità di estrarre una pallina nera sarà 1 – P ( Si ha la certezza che verrà estratta o una pallina bianca o una nera ).

L’entropia della sorgente ( informazione media pesata ) sarà:

Se tutte le palline sono bianche si ha:

Se tutte le palline sono nere si ha:

L’entropia è sempre un numero positivo. Il grafico sarà quindi del tipo:

Per calcolare il massimo dell’entropia si deve annullare la derivata prima di H rispetto a P.

Il massimo dell’entropia si ottiene quando il numero delle palline bianche è uguale al numero delle palline nere e vale:

In conclusione:

Se nell’urna ci sono solo palline bianche o solo paline nere non c’e nessun apporto di informazione nell’estrarre una pallina. Se ci sono tante palline bianche quante nere, l’estrazione di una pallina apporta un bit di informazione.

Media Pesata

Esempio 1°

Su di un totale di venti persone ci sono: 3 ventenni ( gruppo A) , 9 trentenni ( gruppo B) , 7 quarantenni ( gruppo C ) , 1 cinquantenne ( gruppo D ). Calcolare l’età media delle persone:

Soluzione:

1° metodo

Si indichi con IA, IB, IC, ID le informazioni ( età ) fornite dai vari gruppi
L’età media sarà data dalla somma di tutte le età fratto il numero delle persone:

2° metodo

I ventenni abbassano l’età media ma ce ne sono pochi e quindi "pesano poco" ( tre su venti ) i quarantenni alzano l’età media ed essendo in nove "pesano" ( nove su venti ) di più dei ventenni.

Si indichi con PA, PB , PC, PD i pesi dei vari gruppi:

Età

IA = 20

IB =30

IC = 40

I D = 50

Pesi

PA =

PB =

PC =

PD =

Esempio 2°

Si abbia la seguente distribuzione di voti in una classe di 18 allievi.

Numero

di allievi

1

1

3

5

5

2

1

Voto

2

3

4

5

6

7

9

Pesi

Calcolare il voto medio.

Soluzione:

1° metodo

Si sommano tutti i voti e si dividono per il numero degli allievi.

2° metodo

Si sommano i prodotti dei pesi per le informazioni ( voti ).