COSTRUZIONE DELL'ELLISSE

STEFANO AMELIA

Problema

Assegnato un sistema di riferimento Oxy,
dati un punto P₀ (x₀,y₀) e due numeri a e b
come si può costruire l'ellisse di equazione ?

Soluzione

1. Traccio la circonferenza di centro P₀ e raggio a;
2. Traccio la circonferenza di centro P₀ e raggio b;
3. Scelgo a caso un punto A sulla circonferenza di raggio a;
4. Traccio la retta r passante per P₀ e per A;
5. Determino il punto B intersezione di r e della circonferenza di raggio b;
6. Traccio la retta uscente da A e parallela all'asse y;
7. Traccio la retta uscente da B e parallela all'asse x;
8. Determino il punto P intersezione di queste ultime due rette;
9. Muovendo (con il mouse) il punto A vedremo variare anche la posizione di P:

il punto P descrive l'ellisse richiesta.

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Creato con GeoGebra

Dimostrazione

La retta r passa per il punto P₀ , quindi ha equazione y - y₀ = m (x-x₀)
(il coefficiente angolare m varia al variare del punto A).

Il punto P, trovato come intersezione della parallela all'asse y passante per A
e della parallela all'asse x passante per B, ha la stessa ascissa di A e la stessa ordinata di B.

Ricordando che il punto A appartiene alla circonferenza ma anche alla retta
y - y₀ = m (x-x₀) quindi, mettendo a sistema, otteniamo: (x è l'ascissa di A)

Analogamente mettendo a sistema la circonferenza e la retta y - y₀ = m (x-x₀)
si ottiene: (y è l'ordinata di B, intersezione della circonferenza e della retta).

Per quanto detto, tali x e y sono le coordinate del punto P. Sostituendo tali coordinate nella ellisse di equazione
si ottiene un’identità (com'è facile verificare), quindi P appartiene all’ellisse.

Al variare della retta r si ottengono tutti i punti P dell’ellisse.