Esponenziali e logaritmi
Teoria in sintesi
ESPONENZIALI
Potenze con esponente reale
La potenza 
è definita:
·
·
·
Sono definite:
Non sono definite:
Casi particolari :
·
·
Le proprietà delle potenze
definite per esponenti interi valgono anche per esponenti reali:
Funzione esponenziale
Si chiama funzione
esponenziale ogni funzione del tipo :
Il dominio
della funzione, cioè l'insieme dei valori che si possono attribuire a x è tutto R ;
il codominio,
cioè l'insieme dei valori che la funzione assume è R+ (la funzione esponenziale
è sempre strettamente positiva).
Si distinguono tre casi:
·
funzione
crescente : 
·
funzione
costante : 
·
funzione
decrescente : 
I seguenti grafici illustrano il comportamento della
funzione esponenziale nei vari casi :
EQUAZIONI
ESPONENZIALI E LOGARITMI
Un'equazione si dice esponenziale quando l'incognita compare soltanto nell'esponente
di una o più potenze.
L'equazione esponenziale più semplice
(elementare) è del tipo :
Un'equazione esponenziale del tipo 
può essere impossibile,
indeterminata o determinata :
·
impossibile se 
·
indeterminata se 
·
determinata se 
Si chiama logaritmo
in base a di b l'unica soluzione dell'equazione esponenziale elementare
nel caso determinato,
cioè l'esponente x da assegnare alla
base a per ottenere il numero b .
Supponiamo di dover risolvere un'equazione
esponenziale 
:
·
se
a e
b si scrivono come potenze (razionali) della stessa base, si
eguagliano gli esponenti :
·
se
a e
b non si scrivono come potenze (razionali) della stessa base, le
soluzioni si scrivono
sotto forma di logaritmi : 
Il logaritmo risulta essere l'operazione inversa
dell'esponenziale, pertanto le limitazioni cui
è soggetto l'esponenziale si riflettono sul
logaritmo: fissata la base a>0 ,
deve essere b>0 ,
inoltre valgono i casi particolari: 
Analogamente, alle proprietà degli esponenziali
precedentemente elencate corrispondono
le seguenti proprietà dei logaritmi:
I logaritmi che compaiono sulle calcolatrici sono in
base 
oppure in base 
:
indica il 
, detto anche logaritmo
decimale; 
, indica il 
, detto anche
logaritmo
naturale o neperiano.
Funzione logaritmica
Si chiama funzione
logaritmica ogni funzione del tipo :
La funzione logaritmica è l'inversa
dell'esponenziale, pertanto dominio e
codominio
risultano scambiati rispetto a quelli della funzione
esponenziale.
Il dominio
della funzione, cioè l'insieme dei valori che si possono attribuire a x è R+
;
il codominio,
cioè l'insieme dei valori che la funzione assume è R .
Si distinguono due casi:
·
funzione
crescente : 
·
funzione
decrescente : 
I grafici della funzione logaritmica si ottengono da
quelli della funzione esponenziale
per simmetria rispetto
alla bisettrice del I e III quadrante (
) ; essi illustrano
il comportamento della funzione esponenziale nei
vari casi :
EQUAZIONI
LOGARITMICHE
Un'equazione si dice logaritmica quando l'incognita compare soltanto nell'argomento
di uno o più logaritmi.
L'equazione logaritmica più semplice
(elementare) è del tipo :
La sua soluzione, per quanto detto a proposito
dell'equazione esponenziale, è : 
.
Per risolvere un'equazione
logaritmica conviene:
1.
(quando
è possibile) trasformare l'equazione data in una equivalente del tipo 
, applicando le proprietà dei logaritmi ;
2.
determinare
le soluzioni dell'equazione 
;
3.
eseguire
il controllo mediante verifica diretta dei valori di x calcolati al punto 2 ;
4.
in
alternativa al punto 3, associare all'equazione di cui al punto 2 tutte le
condizioni
di esistenza sui logaritmi
(ricordiamo che un logaritmo è definito soltanto per
valori positivi del suo
argomento), per selezionare le soluzioni accettabili.
Esempi
1.
Risolviamo
l'equazione:
.
Osserviamo che:
e
Quindi è possibile trasformare l'equazione assegnata
nell'equazione:
La soluzione
dell'equazione data è quindi 
2.
Risolviamo
l'equazione:
.
Possiamo trasformare
l'equazione eseguendo il logaritmo (in una base qualsiasi, per esempio in base
10) del primo e del secondo membro:
.
Applichiamo la proprietà 2) dei logaritmi:
.
Applichiamo la proprietà 1) dei logaritmi:
.
Isolando 
otteniamo:
(*) .
In
alternativa potevamo isolare 
, ottenendo:
.
Prendendo il logaritmo in base 3 di entrambi i membri si ha:
Utilizzando la formula di cambiamento di base 4) si riottiene
(*).
3.
Risolviamo
l'equazione:
.
Osserviamo che:
.
L'equazione assegnata è equivalente a:
Il
denominatore, essendo una funzione esponenziale, non può assumere il valore
zero. Possiamo
moltiplicare per 
entrambi i membri,
ottenendo:
.
E'
evidente la struttura di equazione algebrica di II grado nell'incognita 
.
Risolvendo tale equazione (può essere utile introdurre una variabile
ausiliaria 
per rendere
più
evidente la natura di equazione di secondo grado) si ha:
oppure 
da cui:
oppure 
.
4.
Risolviamo
l'equazione logaritmica:
.
Imponiamo le condizioni di esistenza sui logaritmi dell'equazione data,
ricordando che
gli
argomenti devono essere positivi:
cioè
alla variabile 
si possono assegnare solo i valori maggiori di 2.
Risolviamo l'equazione applicando la proprietà 3) dei logaritmi e
osservando che
:
Uguagliando gli argomenti si ha la seguente equazione equivalente:
.
Il
valore 
è minore di 2, quindi
non è compatibile con le condizioni
di esistenza. L'unica soluzione dell'equazione è data da:
.
Esercizi
1.
Tenendo
presente che 
, scrivi le seguenti potenze sotto forma di radice:
a)
b)
2.
Scrivi
le seguenti radici sotto forma di potenza con esponente razionale:
a)
b)
3.
Risolvi
le seguenti equazioni esponenziali:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
4.
Risolvi
le seguenti equazioni logaritmiche:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
