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Esponenziali e logaritmi

 

Teoria in sintesi

 

ESPONENZIALI 

 

Potenze con esponente reale

 

La potenza  è definita:

 

·       

·       

·       

 

Sono definite:

 

Non sono definite:

 

Casi particolari :

·       

·       

 

Le proprietà delle potenze definite per esponenti interi valgono anche per esponenti reali:

 

 

Funzione esponenziale

 

Si chiama funzione esponenziale  ogni funzione  del tipo :

 

 

Il dominio della funzione, cioè l'insieme dei valori che si possono attribuire a x è tutto R ;

 

il codominio, cioè l'insieme dei valori che la funzione assume è R+ (la funzione esponenziale

è sempre strettamente positiva).

 

Si distinguono tre casi:

 

·                 funzione crescente :     

·                 funzione costante :       

·           funzione decrescente  :

 

I seguenti grafici illustrano il comportamento della funzione esponenziale nei vari casi :

 

 


 

 

 


EQUAZIONI ESPONENZIALI E LOGARITMI

 

Un'equazione si dice esponenziale quando l'incognita compare soltanto nell'esponente

di una o più potenze.

 

L'equazione esponenziale più semplice (elementare)  è  del tipo :

   

 

 

Un'equazione esponenziale del tipo può essere impossibile, indeterminata o determinata :

·        impossibile       se 

·        indeterminata  se 

·        determinata     se 

 

Si chiama logaritmo in base a di b l'unica soluzione dell'equazione esponenziale elementare


nel caso determinato, cioè l'esponente x da assegnare alla base a per ottenere il numero b . 

 


Supponiamo di dover risolvere un'equazione esponenziale :

·        se a e  b  si scrivono come potenze (razionali) della stessa base, si eguagliano gli esponenti :

     

·        se a e  b  non si scrivono come potenze (razionali) della stessa base, le soluzioni si scrivono

sotto forma di logaritmi :       

 

Il logaritmo risulta essere l'operazione inversa dell'esponenziale, pertanto le limitazioni cui

è soggetto l'esponenziale si riflettono sul logaritmo: fissata la base a>0 , deve essere b>0 ,

inoltre valgono i casi particolari:

 

Analogamente, alle proprietà degli esponenziali precedentemente elencate corrispondono

le seguenti proprietà dei logaritmi:

I logaritmi che compaiono sulle calcolatrici sono in base oppure in base :

 indica il , detto anche logaritmo decimale;  , indica il , detto anche

logaritmo naturale o neperiano.

 

Funzione logaritmica

 

Si chiama funzione logaritmica  ogni funzione  del tipo :

 

 

La funzione logaritmica è l'inversa dell'esponenziale, pertanto dominio e codominio

risultano scambiati rispetto a quelli della funzione esponenziale.

 

Il dominio della funzione, cioè l'insieme dei valori che si possono attribuire a x è R+ ;

 

il codominio, cioè l'insieme dei valori che la funzione assume è R .

 

Si distinguono due casi:

 

·                 funzione crescente :     

·           funzione decrescente  :

 

I grafici della funzione logaritmica si ottengono da quelli della funzione esponenziale


per simmetria rispetto alla bisettrice del I e III quadrante () ; essi illustrano

il comportamento della funzione esponenziale nei vari casi :

 

 

 

 

 

 

 

EQUAZIONI LOGARITMICHE

 

Un'equazione si dice logaritmica quando l'incognita compare soltanto nell'argomento

di uno o più logaritmi.

 

L'equazione logaritmica più semplice (elementare)  è  del tipo :

   

 

La sua soluzione, per quanto detto a proposito dell'equazione esponenziale, è : .

 

Per risolvere un'equazione logaritmica conviene:

1.      (quando è possibile) trasformare l'equazione data in una equivalente del tipo            , applicando le proprietà dei logaritmi ;

2.      determinare le soluzioni dell'equazione  ;

3.      eseguire il controllo mediante verifica diretta dei valori di x calcolati al punto 2 ;

4.      in alternativa al punto 3, associare all'equazione di cui al punto 2 tutte le condizioni

di esistenza sui logaritmi (ricordiamo che un logaritmo è definito soltanto per

valori positivi del suo argomento), per selezionare le soluzioni accettabili.

 

Esempi

1.      Risolviamo l'equazione:

.

Osserviamo che:

   e

 Quindi è possibile trasformare l'equazione assegnata nell'equazione:

        

La soluzione dell'equazione data è quindi

2.      Risolviamo l'equazione:

.

Possiamo trasformare l'equazione eseguendo il logaritmo (in una base qualsiasi, per esempio in base 10) del primo e del secondo membro:

.

       Applichiamo la proprietà 2) dei logaritmi:

.

       Applichiamo la proprietà 1) dei logaritmi:

.

        Isolando  otteniamo:

  (*) .

        In alternativa potevamo isolare , ottenendo:

.

      Prendendo il logaritmo in base 3 di entrambi i membri si ha:

           

      Utilizzando la formula di cambiamento di base 4) si riottiene (*).

3.      Risolviamo l'equazione:

.

      Osserviamo che:

.

      L'equazione assegnata è equivalente a:

      Il denominatore, essendo una funzione esponenziale, non può assumere il valore zero. Possiamo

      moltiplicare per  entrambi i membri, ottenendo:

.

      E' evidente la struttura di equazione algebrica di II grado nell'incognita .

      Risolvendo tale equazione (può essere utile introdurre una variabile ausiliaria per rendere

      più evidente la natura di equazione di secondo grado) si ha:

   oppure   

      da cui:

     oppure     .

4.      Risolviamo l'equazione logaritmica:

.

       Imponiamo le condizioni di esistenza sui logaritmi dell'equazione data, ricordando che

       gli argomenti devono essere positivi:

        cioè alla variabile si possono assegnare solo i valori maggiori di 2.

        Risolviamo l'equazione applicando la proprietà 3) dei logaritmi e osservando che:

         Uguagliando gli argomenti si ha la seguente equazione equivalente:

.

         Il valore  è minore di 2, quindi non è compatibile con le condizioni

         di esistenza. L'unica soluzione dell'equazione è data da:

.

 

Esercizi

 

1.      Tenendo presente che , scrivi le seguenti potenze sotto forma di radice:

a)     

b)     

2.      Scrivi le seguenti radici sotto forma di potenza con esponente razionale:

a)     

b)     

3.      Risolvi le seguenti equazioni esponenziali:

a)       

b)     

c)     

d)       

e)     

f)       

g)     

h)     

i)       

j)       

4.      Risolvi le seguenti equazioni logaritmiche:

a)     

b)     

c)     

d)     

e)     

f)