Le coniche

Le coniche: circonferenza, parabola, ellisse e iperbole.

Teoria in sintesi

Queste curve si chiamano coniche perché sono ottenute tramite l’intersezione di una superficie conica con un piano.

Si possono definire tutte come luoghi geometrici e, di conseguenza, ricavarne l'equazione algebrica che le rappresenta nel piano cartesiano.

Lo vedremo come esempio per la circonferenza.

LA CIRCONFERENZA

La circonferenza è il luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto C, detto centro.

Si ottiene tagliando un cono con un piano perpendicolare al suo asse.

La distanza fra ognuno dei suoi punti e il centro è il raggio della circonferenza.

Note le coordinate del centro C (a;b) e la misura r del raggio, l'equazione della circonferenza è allora

(equazione canonica)

Ricaviamola.

Tutti i punti P che stanno sulla circonferenza hanno la proprietà comune che

cioè

Utilizzando la formula della distanza tra due punti si ottiene allora

Elevando al quadrato e sostituendo al posto di la sua misura si ottiene allora l'equazione cercata.

Esempio

è l’equazione della circonferenza con centro C(2; -1) e raggio 3.

L’equazione può anche essere scritta nella forma

(equazione generale)

dove a, b e c sono legati alle coordinate del centro ed al raggio dalle seguenti relazioni:

Esempio

è l’equazione della circonferenza con centro C(-1,2) e raggio 4.

Si segnalano i seguenti casi particolari

a=0, il centro appartiene all’asse y:

b=0, il centro appartiene all’asse x;

c=0, la circonferenza passa per l’origine degli assi.

N.B.: Verificalo!

Per determinare l’equazione di una circonferenza è necessario determinare i tre parametri (a, b, c) dell’equazione generale di una circonferenza.

Ad esempio citiamo i seguenti casi:

· sono note le coordinate del centro e il raggio;

· sono note le coordinate degli estremi di un diametro;

· la circonferenza passa per un punto e sono note le coordinate del centro;

· la circonferenza passa per tre punti non allineati;

· la circonferenza passa per due punti e il centro appartiene a una retta nota;

· sono note le coordinate del centro e la circonferenza è tangente a una retta nota.

N.B.: Lo studente è invitato a verificare graficamente con degli esempi che queste condizioni sono sufficienti per disegnare circonferenze.

Vediamo un esempio per chiarire le idee.

Esempio

Determinare l’equazione della circonferenza di centro C(2,-3) e passante per A(1,1).

Il raggio della circonferenza sarà:

(perchè? Cosa stiamo utilizzando?)

Usando l’equazione canonica della circonferenza otteniamo

Una retta ed una circonferenza possono essere secanti, tangenti o esterne l'una rispetto all'altra.

Dato allora il sistema formato dalla equazione della circonferenza e da quella della retta

nell'equazione di secondo grado che risolve il sistema (ricavando una delle due variabili in funzione dell’altra nella seconda equazione), abbiamo allora le tre possibilità alternative:

· , la retta è secante;

· , la retta è tangente;

· , la retta è esterna.

(Spiega perchè)

Dato un punto e una circonferenza di equazione , si possono verificare le tre condizioni.

· P è esterno alla circonferenza, le rette per P tangenti alla circonferenza sono due;

· P appartiene alla circonferenza, la retta tangente è una sola;

· P è interno alla circonferenza, non esistono rette tangenti uscenti da P.

Per determinare le equazioni delle eventuali rette tangenti, si possono seguire due metodi.

I METODO

· si scrive l'equazione del fascio di rette passanti per

· si scrive il sistema fra le equazioni del fascio e la circonferenza:

· con il metodo di sostituzione si ottiene quindi un'equazione di secondo grado nella variabile x;

· si impone la condizione di tangenza, ossia ;

· si risolve l'equazione di secondo grado rispetto a m;

se , le rette tangenti sono due e il punto P è esterno alla circonferenza;

se , la retta tangente è una sola e il punto P appartiene alla circonferenza;

se R, non esistono rette tangenti e il punto P è interno alla circonferenza;

· si sostituisce il valore o i valori trovati di m nell'equazione del fascio di rette.

N.B.: E’ sempre conveniente controllare graficamente i risultati ottenuti…!

Esempio

Scrivere l'equazione delle rette passanti per P(0,-4) e tangenti alla circonferenza .

L'equazione della retta generica passante per P è:

intersecando con la circonferenza otteniamo

imponendo si ottiene

che ci dà coefficiente angolare delle rette tangenti .

Le due rette quindi:

N.B.: Verifica tu graficamente (disegna circonferenza e rette tangenti) i risultati ottenuti.

II METODO

· si determinano le coordinate del centro C e del raggio r della circonferenza;

· si scrive l’equazione del fascio di rette passanti per

cioè

;

· si applica la formula della distanza fra le rette e il centro C;

· si pone tale distanza uguale al raggio e si risolve l’equazione in m;

· si sostituisce il valore o i valori trovati di m nell’equazione del fascio di rette.

Se il punto P appartiene alla circonferenza, allora la retta tangente è la retta per P perpendicolare a PC.

N.B.: Applica tu il secondo metodo all’esempio appena visto.

Due circonferenze possono essere secanti in due punti, tangenti in uno stesso punto (esternamente o internamente), una interna all'altra, concentriche o esterne.

Per determinare gli eventuali punti di intersezione o il punto di tangenza, occorre risolvere il sistema formato dalle equazioni delle due circonferenze.

E' conveniente risolvere il sistema con il metodo di riduzione.

Sottraendo le due equazioni, si ottiene infatti l'equazione di primo grado

che è l’asse radicale, nella quale si potrà ricavare x in funzione di y (per esempio) e sostituirla poi in una delle due equazioni della circonferenza.

LA PARABOLA

La parabola è il luogo geometrico dei punti equidistanti da una retta (direttrice) e da un punto (fuoco). La retta passante per il fuoco e perpendicolare alla direttrice si chiama asse della parabola.

L'asse della parabola è un asse di simmetria e interseca la parabola nel vertice.

Una parabola con asse parallelo all'asse y è rappresentata da un'equazione del tipo

(con a¹0).

Concavità e apertura della parabola dipendono dal parametro a.

Riassumiamo alcune caratteristiche della parabola nel seguente schema.

Per i casi particolari (b=0; c=0; b=c=0) lo studente è invitato a completare lo schema riassuntivo.

PARABOLE
Equazione
Asse	x=?	x=?	x=?
Vertice	V ?	V ?	V=O (perché?)
Fuoco	F ?	F ?	F ?
Direttrice	y= ?	y= ?	y= ?
Figure

N.B.: Invitiamo lo studente a costruire lo schema riassuntivo della parabola nel caso in cui essa abbia asse parallelo all'asse y.

Come ben sai l'equazione di una parabola con asse parallelo all'asse x è del tipo

(con a¹0).

dove a, b, c sono coefficienti reali e a¹0.

Ricorda, basterà scambiare tra loro le ascisse con le ordinate….! Perché?

Anche nell'equazione della parabola (come in quella della circonferenza) (o ) sono presenti i tre coefficienti a, b e c. Per poterli determinare occorrono in genere tre condizioni.

Alcune possibili condizioni sono le seguenti:

· sono note le coordinate del vertice e del fuoco;

· sono note le coordinate del vertice (o del fuoco) e l'equazione della direttrice;

· la parabola passa per tre punti non allineati;

· la parabola passa per due punti e si conosce l'equazione dell'asse;

· la parabola passa per un punto e sono note le coordinate del vertice (o del fuoco);

· la parabola passa per un punto e sono note le coordinate dell'asse e della direttrice.

N.B.: Per le soluzioni di problemi di tangenza o intersezione tra rette e parabola ed esercizi riguardanti la determinazione dell’equazione della parabola (cioè dei suoi parametri a, b, c) soddisfacente tre condizioni date, si procederà nello stesso modo e con le stesse procedure utilizzate nel caso della circonferenza.

A titolo di esempio riportiamo solo lo schema riguardante le condizioni di tangenza tra retta e parabola.

Le rette tangenti a una parabola, uscenti da un punto , possono essere due, una o nessuna.

Per determinare le equazioni delle eventuali rette passanti per e tangenti alla parabola, si procede nel seguente modo:

· si scrive l'equazione del fascio di rette passanti per ,

;

· si scrive il sistema fra le equazioni del fascio e della parabola:

· si perviene all'equazione di secondo grado in x:

· si calcola :

;

· si pone la condizione di tangenza, ossia :

, ossia ;

· si risolve l'equazione di secondo grado rispetto a m:

- se , le rette tangenti sono due;

- se , la retta tangente è una sola e il punto P appartiene alla parabola;

- l’equazione non ha soluzioni.

· se si trova il valore (o i valori) di m, si sostituisce nell'equazione del fascio di rette determinando così le equazioni delle rette tangenti.

Per l’ellisse e l’iperbole richiamiamo solo brevemente la forma delle loro equazioni, e le relazioni che legano le coordinate dei punti caratteristici per la loro determinazione come luoghi geometrici.

ELLISSE

· Equazione dell’ellisse riferita al centro degli assi cartesiani

centro O(0,0)

fuochi e , essendo

vertici A(a,0), B(b,0), -A, -B

N.B.: L’eccentricità e indica la forma più o meno schiacciata dell’ellisse: . Quanto vale nella circonferenza?

IPERBOLE

· Equazione dell’iperbole riferita al centro degli assi cartesiani

centro O(0,0)

fuochi e , essendo

vertici A(a,0), B(-a,0)

asintoti

Per l’iperbole è .

Esercizi

1. Disegnare, dopo aver ricavato centro e raggio, le seguenti circonferenze.

[N.B.: non è una circonferenza, perchè?]

[N.B.: Ricorda, devi dividere per 16! Perchè?]

2. Trovare l’intersezione tra retta e circonferenza e rappresentarle graficamente.

[A (1; 2) e B (-1; -1)]

3. Determinare l’equazione della circonferenza avente per diametro il segmento di estremi A(-3; 1) e B(2; 5).

[N.B.: Il centro è il punto medio del segmento AB ed il raggio si ottiene utilizzando la formula della distanza tra due punti. La circonferenza cercata è ]

4. Determinare l’equazione della circonferenza passante per A(2; 0); B(-1; 0) e C(1; 2).

[N.B.: Basta risolvere il sistema

(perchè?)

per ottenere ]

5. Stabilire se i punti A(1; 5); B(10; 2); C(-1; -2) appartengono o meno alla circonferenza di equazione

[si, si, no]

6. Determinare l’equazione delle rette tangenti alla circonferenza nei punti O(0; 0) e A(0; 6).

[N.B.: Sono le intersezioni della circonferenza con l’asse delle y. Basterà sfruttare il fatto che il raggio della circonferenza è perpendicolare alla retta tangente nei suoi punti di tangenza….

]