Equazioni e disequazioni di 2º grado

Equazioni di 2º grado e parabole, disequazioni di 2º grado

Teoria in sintesi

PARABOLA

Ogni funzione , con a ¹0, rappresenta una parabola, con le seguenti caratteristiche:

· L'asse della parabola è parallelo all'asse delle y

· Il vertice ha ascissa (l'ordinata si può trovare sostituendo questo valore nella funzione)

· La parabola ha la concavità rivolta verso l'alto se , verso il basso se

· La "apertura" della parabola è tanto maggiore, quanto maggiore è .

· Per tracciare il grafico qualitativo della parabola si determinano il vertice e le intersezioni con gli assi.

N.B.: Per queste ultime ricorda che devi risolvere i due sistemi

che dà

DISEQUAZIONI DI 2º GRADO

N.B.: Possiamo sempre fare riferimento ai casi in cui il coefficiente a è positivo. Infatti se a è negativo, basta cambiare segno a tutti i termini e invertire il senso delle disequazioni.

(esempio: è equivalente a )

· METODO GRAFICO (uso della parabola)

Per dare una interpretazione grafica delle disequazioni di secondo grado

a) si disegna la parabola;

b) si cercano gli eventuali punti di intersezione della parabola con l'asse x;

c) si considerano le soluzioni delle disequazioni che sono date dalle ascisse dei punti della parabola che hanno ordinata positiva oppure negativa .

I casi possibili risultano riassunti nel seguente schema:

Costruisci tu per questo caso lo schema riassuntivo in modo analogo. Ricorda che in questo caso si procede considerando la parte di parabola che sta nel semipiano delle y negative.

· DECOMPOSIZIONE DEL TRINOMIO DI SECONDO GRADO

La risoluzione analitica delle disequazioni

avviene nel modo seguente

dette le due soluzioni di e posto si ha

E quindi, dalle regole dei segni, otteniamo la soluzione

(N.B.: Il simbolo , preso in prestito dalla logica, sta a significare che si considera l’unione dei due insiemi ).

quindi soluzione

soluzione

R

Invece per la disequazione in modo analogo si ottiene:

, ossia per valori interni all'intervallo di estremi ;

non è mai verificata;

non è mai verificata;

Svolgere per esercizio uno schema analogo al caso precedente.

Esercizi

1. Tracciare il grafico qualitativo delle seguenti parabole, dopo averne trovato il vertice e l'intersezione con gli assi:

a) ;

b) ;

c) ;

d) ;

e) ;

2. Risolvere in , dopo aver impostato la discussione, le seguenti equazioni:

(Non ha soluzioni)

(Si possono semplificare i conti?)

3. Risolvere le seguenti disequazioni di secondo grado utilizzando il metodo grafico (parabola…)

nessuna soluzione

4. Risolvere usando il metodo di decomposizione del trinomio di secondo grado.

[Ricorda: ]

N.B.: questo è uno dei rari casi fortunati in cui troviamo ad occhio una soluzione dell’equazione corrispondente di terzo grado. In generale questo non è possibile. Vedremo comunque nel corso che disequazioni come queste si risolvono facilmente con metodi grafici.