RÉFLEXIONS

SUR LA

RÉSOLUTION ALGÉBRIQUE DES ÉQUATIONS [1]

[Nouveaux Mémoires de l’Académie royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin, années 1770 et 1771 [2]]

La théorie des équation est de toutes les parties de l’Analyse celle qu’on eût cru devoir acquérir les plus grands degrés de perfection et par son importance et par la rapidité des progrès que les premiers inventeurs y on faits ; ma quoique les Géomètres qui sont venus depuis n’aient cessé de s’y appliquer , il s’en faut beaucoup que leurs efforts aient eu le succès qu’on pouvait désirer. On a à la vérité épuisé presque tout ce qui concerne la nature des équations, leur transformation, les conditions nécessaires pour que deux ou plusieurs racines deviennent égales, ou aient entre elles un relation donnée, et la manière de trouver ces racines, la forme des racines imaginaires, et la méthode de trouver la valeur de celles qui, quoique réelles, se présentent sous une forme imaginaire, etc. On a aussi découvert des règles générales pour reconnaître si toutes les racines d’une équation sont réelles ou non, et pour savoir dans le premier cas combien il doit y en avoir de positives et de négatives ; mais on n’a jusqu’à présent aucune règle générale pou connaître le nombre des racines imaginaires dans les équations qui doivent en contenir, et moins encore pour savoir combien il doit y en avoir de réelles positives et de réelles négatives , lorsqu’on connaît d’ailleurs le nombre des réelles e des imaginaires ; on n’a pas même  une règle pour pouvoir s’assurer si une équation quelconque proposées doit contenir quelques racines réelles ou non, à moins que l’équation ne soit d’un degré impair, ou que son dernier terme ne soit négatif.

Ce n’est pas qu’on ne puisse toujours trouver le nombres des racines imaginaires et des racines réelles positives, ou négatives, lorsqu’on connaît la valeur numériques des coefficient de l’équation proposée ; les méthodes que j’ai données ailleurs, tant pour ce objet que pour approcher autant que l’on veut de la valeur de caque racine, ne laissent, ce me semble, rien à désirer ; mais il s’agit ici des équations littérales, et la question est de trouver les conditions qui doivent avoir lieu entre les différents coefficients d’une équation d’un degré donné, suivant la qualité de ses racines.

A l’égard de la résolution des équations littérales, on n’est guère plus avancé qu’on ne l’était du temps de Cardan, qui le premier a publié celle des équations du troisième et du quatrième degré. Les premiers succès des Analystes italiens dans cette matière paraissent avoir été le terme des découvertes qu’on y pouvait faire ; du moins est-il certain que toutes les tentatives qu’on a faites jusqu’à présent pour reculer les limites de cette partie de l’Algèbre n’ont encore servi qu’à trouver de nouvelles méthodes pour les équations du troisième et du quatrième degré, dont aucune ne paraître applicable, en général, aux équations d’un degré plus élevé.

Je me propose dans ce Mémoire d’examiner les différentes méthodes que l’on a trouvées jusqu’à présent pour la résolution algébrique des équations, de les réduire à des principes généraux, et de faire voir à priori pourquoi ces méthodes réussissent pour le troisième et le quatrième degré, et sont en défaut pour les degrés  ultérieurs.

Cet examen aura un double avantage : d’un côté il servira à répandre une plus grande lumière sur la résolution connues du troisième et du quatrième degré ; de l’autre il sera utile à ceux qui voudront s’occuper de la résolution des degrés supérieurs, en leur fournissant différentes vues pour cet objet et en leur épargnant surtout un grand nombre de pas et de tentatives inutiles.

RIFLESSIONI

SULLA

RISOLUZIONE ALGEBRICA DELLE EQUAZIONI

La teoria delle equazioni è di tutte le parti dell’Analisi quella che si credeva dovesse raggiungere il più grande grado di perfezione sia per la sua importanza sia per la rapidità dei progressi fatti dai primi ricercatori; ma nonostante il fatto che i Geometri che sono venuti dopo non abbiano smesso di impegnarsi, non si può dire che i loro sforzi abbiano avuto il successo che si poteva desiderare. In verità si è esaurito tutto quello che concerne la natura delle equazioni, la loro trasformazione, le condizioni necessarie affinché due o più radici siano uguali, o abbiano fra di loro una relazione data, e il modo di trovare queste radici, la forma delle radici immaginarie, e il metodo di trovare il valore di quelle che, sebbene reali, si presentano sotto una forma immaginaria… Si sono anche scoperte delle regole generali per riconoscere se tutte le radici di una equazione sono reali o no, e per sapere nel primo caso quante se ne devono avere di positive e di negative; ma non si ha a tutt'oggi  nessuna regola generale per riconoscere il numero delle radici immaginarie nelle equazioni che le devono contenere, e meno ancora per sapere quante se ne devono avere di reali positive e di reali negative, quando si conosce d’altronde il numero delle reali e delle immaginarie; non si ha nemmeno una regola per potere assicurarsi se un’equazione qualunque data deve contenere o no qualche radice reale, a meno che l’equazione non sia di grado dispari, o che il suo ultimo termine non sia negativo.

Non è che non si possa sempre trovare il numero delle radici immaginarie e delle radici reali positive o negative, quando si conosce il valore numerico dei coefficienti dell’equazione proposta; i metodi che ho dato altrove, sia per questo scopo sia per approssimare tanto quanto si vuole il valore di ogni radice, non lasciano, mi sembra, niente a desiderare; ma se si tratta di equazioni letterali, e il problema è trovare è trovare le condizione che devono esserci fra i differenti coefficienti di un’equazione di grado dato, secondo la qualità delle sue radici.

Riguardo alla risoluzione delle equazioni letterali, non si è molto più avanti di quanto si era ai tempi di Cardano, che per primo ha pubblicato quella delle equazioni di terzo e di quarto grado. Il primo successo degli Analisti italiani in questa materia sembra sia stato il termine delle scoperte che in essa si potevano fare; se non altro è certo che tutti i tentativi che si sono fatti fino ad oggi per allontanare i limiti di questa parte dell’Algebra non sono ancora serviti che a trovare dei nuovi metodi per le equazioni di terzo e quarto grado, nessuno dei quali sembra essere applicabile, in generale, a equazioni di un grado più alto.

Mi propongo in questa Memoria di esaminare i differenti metodi che si sono trovati fino ad oggi per la risoluzione algebrica delle equazioni, di ridurli a dei principi generali, e di mostrare a priori perché questi metodi funzionano per il terzo e quarto grado, e falliscono per i successivi gradi.

Questo esame avrà un doppio vantaggio: da un lato servirà a diffondere una più grande luce sulle risoluzioni note del terzo e quarto grado; dall’altro sarà utile a coloro vorranno occuparsi della risoluzione dei gradi superiori, fornendo loro differenti  prospettive per questo oggetto e soprattutto risparmiando loro un gran numero di passi e di tentativi inutili.