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Plottaggio di curve iso-livello di una data funzione z=f(x,y) in Excel
Macro isol.xls
La macro Excel contenuta nel
file isol.xls , sviluppata da SimonLuca Santoro
e cortesemente rilasciata al dominio pubblico attraverso questo sito, consente
la creazione automatica di grafici di curve iso-livello. Le immagini prodotte,
di ottima qualità, non sono statiche immagini bitmap ma dei grafici Excel a
tutti gli effetti e possono quindi essere manipolati e modificati
successivamente con i tool standard di Excel.
La seguente immagine è un
esempio di grafico prodotto
La versione 2 consente anche
la generazione di mappe colorate, grazie alla macro Mapper sviluppata da Robert de Levie
nella sua libreria MacroBundle
http://www.bowdoin.edu/~rdelevie/excellaneous/
Una dettagliata spiegazione delle
algoritmo Mapper può essere trovato nel libro "Advanced Excel for scientific data analysis",
dello stesso autore.
L'unione delle mappe colorate e delle line iso-livello permette di
ottenere grafici molto belli ed interessanti.
La macro isol.xls produce
i grafici in file xls separati da quello della macro. I file contenenti i
grafici, in genere abbastanza voluminosi (1 - 1.5 MB), sono indipendenti dalla
macro stessa e possono essere aperti e manipolati successivamente senza il file
isol.xls .
La macro contiene anche il
file template isol_output_t.xls che però non deve essere sovrascritto. Esso
deve essere lasciato nella stessa directory in cui è contenuto il file isol.xls
e serve solo come modello per produrre i grafici successive.
Attualmente la macro crea
grafici iso-livello con tre modalità differenti:
- Tramite Funzione Razionale di 3 grado P(x,y)/Q(x,y)
- Tramite Tabella di dati (x, y)
- Tramite Formula Excel
L'algoritmo adottato per
plottare le curve iso-livello si basa sulla triangolarizzazione del dominio
rettangolare D º { x, y : xmin £ x £
xmax , ymin £ y £
ymax }
In sintesi i passi salienti
dell'algoritmo sono
- Discretizzazione in sottodomini rettangolari
- Suddivisione di ogni sub-dominio in 4 triangoli
- Calcolo della funzione z=f(x,y) nei vertici di
ogni triangolo (P1', P2', P3').
- Identificazione del piano passante per i vertici
del triangolo immagine (P1 P2 P3)
- Identificazione della segmento A B d'incontro
fra il triangolo e il piano p, z = zi
La traccia A' B' su piano xy
approssima la iso-livello per z = zi. L'approssimazione è tanto
migliore quanto più i sottodomini sono piccoli.
La nota Iso-livello_Appunti.pdf di Simonluca spiega in dettaglio l'algoritmo
Il metodo ha il vantaggio di
essere robusto e di funzionare anche con superfici non derivabili e irregolari
in quanto non sfrutta l'informazioni relative al gradiente della superficie. Lo
svantaggio è, invece, un elevato costo computazionale (circa 100 operazioni per
triangolo) che si riflette in un tempo di elaborazione non trascurabile
Formule parametriche. Per ridurre il costo computazionale si può
adottare, però, una variante del metodo che evita il calcolo esplicito del
piano interpolante attraverso le formule parametriche dei segmenti del
triangolo P1(x1,y1,z1), P2(x2,y2,z2),
P3(x3,y3,z3)
Le coordinate delle
proiezioni sui lati del triangolo di base A', B', C' , se esistono, si trovano
con le seguenti semplici formule
Nel calcolo si devono scegliere
solo i punti per cui è 0 £ ti £ 1
In generale la variante
delle formule parametriche riduce di circa 1/3 il costo computazionale, a tutto
vantaggio del tempo totale di elaborazione.