Scopo

Teoria

Uso del programma di simulazione

Simulazione

Esercizi

Studiare e simulare i seguenti fenomeni relativistici in una giostra in moto circolare uniforme:

• Deviazione dei raggi di luce verso l'esterno, si osserva che la geometria non è quella euclidea ma una geometria ellittica infatti data una retta (raggio di luce) ed un punto esterno è possibile tracciare più di una parallela alla retta data passante per quel punto. Lo stesso fenomeno si può notare immaginando di tracciare un triangolo e di misurarne gli angoli interni, la somma è minore di un angolo piatto.
• Deformazione del regolo, si può osservare che avvicinandosi al confine esterno le misure si contraggono e il regolo si incurva verso l'esterno.
• Moto di una massa lanciata con una certa velocità e una certa direzione.

Supponiamo di trovarci su una grande giostra in moto, con velocità angolare w intorno all'origine delle coordinate, iniziamo a studiare il comportamento dinamico di una massa in movimento secondo la dinamica newtoniana:
Un punto P(x,y) subisce un'accelerazione a=(w ²x , w ²y). Per studiarne la traiettoria basta risolvere il sistema di equazioni differenziali:

x'' - w x = 0, y'' - w y=0 facilmente integrabile e che ammette come soluzione :

x = A ew ^t + B e ^{- w t} , y = C ew ^t + D e ^{- w t}

dove le costanti A,B,C,D sono da determinare in base alle condizioni iniziali.

Passando al caso relativistico bisogna osservare, come detto precedentemente, che la geometria del sistema non è più euclidea infatti per effetto della contrazione delle lunghezze e quindi del regolo misuratore la circonferenza di raggio r non è più 2p r ma dipende dal raggio secondo una legge che non è più di proporzionalità diretta:

analogamente il tempo subisce il fenomeno della dilatazione ovvero avvicinandosi al contorno della giostra gli orologi rallentano il loro moto:

Si osserva che il massimo raggio cui può giungere la giostra è quello per cui si raggiunge la velocità della luce ovvero:

R_Max=c/w che costituirà il nostro confine.

Si osserva che al confine il tempo praticamente si ferma mentre la circonferenza diventa infinitamente lunga e anche per arrivarci occorrerebbe un tempo infinito, in questo senso si può ancora pensare alle rette (raggi di luce) infinitamente lunghe perché per arrivarne in fondo occorrerebbe un tempo infinito e un percorso infinito.

Concludiamo indicando l'elemento invariante in questa geometria iperbolica:

Nel programma di simulazione sono visibili:

• Un disco centrale che rappresenta la giostra, il raggio del disco è il raggio critico.
• Due orologi che registrano i tempi locali
• Un regolo che si deforma a secondo della posizione nella quale si trova
• Una torcia per emettere un raggio di luce, raggio che viene deformato dall'accelerazione centrifuga.
• Una massa che viene lanciata con una certa velocità indicata dalla freccia.

La tastiera in basso che consente di

• Far partire la massa dalla posizione individuata dalla coda della freccia e con la velocità iniziale indicata dalla freccia. Tasto via
• Azzerare gli orologi per confrontarne il diverso procedere. Tasto azzera
• Modificare la velocità angolare e di conseguenza il suo raggio critico. Tasti omega+ ed omega- e visualizzazione del suo valore numerico
• Accelerare o rallentare il moto del pianeta, degli orologi, e allungare o accorciare il regolo tasti veloce lento
• Ingrandire o rimpicciolire la finestra Tasti zoom*2 zoom/2

Le operazioni con il mouse sono le seguenti:

• Trascinamento della finestra attiva agendo lontano dagli oggetti rappresentati
• Spostamento degli orologi, trascinandoli dal loro centro che è anche il punto nel quale vengono contati i tempi.
• Spostamento e rotazione della torcia, agendo sulle estremità.
• Spostamento e rotazione del regolo.
• Modifica della posizione e della velocità del pianeta, spostando la punta e la coda della freccia.

E' possibile effettuare alcune osservazioni sul comportamento relativistico nella giostra, in particolare:

• Spostando la pila si osserva che il raggio di luce non procede in linea retta ma secondo una traiettoria curva, l'accelerazione centrifuga cui è sottoposta ne provoca una deflessione verso l'esterno.
• Il moto della massa segue la traiettoria iniziale per breve tempo, viene accelerato dalla fortissima accelerazione ma quando giunge un prossimità del raggio massimo (critico) rallenta, in realtà il rallentamento è solo apparente perché dal suo punto di vista continua sempre ad accelerare solo che avviene il fenomeno della dilatazione dei tempi e della contrazione delle lunghezze che rendono infinita la misura di un arco limitato.
• Spostando il regolo e facendolo ruotare si osserva che approssimandosi al raggio critico il regolo di contrae e si incurva allo stesso modo dei raggi luminosi.