Massimo Fantin 2003

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Introduzione

Uso della simulazione

Simulazione

Le equazioni integrali che vengono considerate sono le seguenti nelle quali si ricerca la funzione incognita z(x):

Equazione lineare di Fredholm

Equazione non lineare di Fredholm che comprende la precedente come caso particolare:

infatti basta porre U(x,y,z) = L(x,y) z + F(x)/(n-m)

Equazione lineare di Volterra

Equazione non lineare di Volterra che comprende la precedente come caso particolare:

anche in questo caso basta porre U(x,y,z) = L(x,y) z +F(x)/(x-m)

Viene risolta con il metodo del punto unito: si parte da una funzione arbitraria z_o continua nell'intervallo [m,n] e per ricorrenza si costruisce la successione

La successione converge se U soddisfa alla condizione di Lipschitz rispetto a z, cioè se per ogni (x,y,z)Î [m.n]x[m,n]xR

| U(x,y,z₁) - U(x,y,z₂) | < M | z₁ -z ₂ | con M|b-a|<1

Equazione di Volterra
Viene risolta con un metodo simile al precedente : sia z₀ una finzione continua arbitraria in [m,n] e

con la stessa condizione di convergenza

Selezionare il tipo di equazione da risolvere (Fredholm o Volterra)

Introdurre nella finestrella in alto U(x,y,z) o V(x,y,z) usando la stessa sintassi del programma funzioni, per scrivere la eventuale funzione nota F(x), che non deve essere integrata, moltiplicarla per il F che è uguale a 1/(n-m); nel caso delle equazioni di Fredholm moltiplicarla per V che è eguale a 1/(x-m).

Modificare gli estremi di integrazione trascinando le linee verdi orizzontali

Scegliere il numero di punti 50,100,200,400 con il pulsante in basso; maggiore è il numero dei punti e maggiore è il tempo di calcolo.

E' possibile usare un parametro k il cui valore può essere variato con il i cursori sulla destra, che vengono attivati dal pulsante parametro.

Gli altri pulsanti in basso servono per ingrandire o rimpicciolire la finestra.

Si voglia risolvere l'equazione di Volterra:

si dovrà scrivere nella finestrella in alto semplicemente z+1 e scegliere l'opzione Volterra. Trascinare l'estremo inferiore di integrazione su -1.

Cliccare sul pulsante vai alcune volte, compare il grafico della funzione z(x)=exp(x+1)-1, che, come si verifica facilmente, è la soluzione dell'equazione data.