STUDIO E DIMENSIONAMENTO DEL CIRCUITO FORMATORE (SINEWAVE SHAPER)
Con questo circuito, tramite diodi e resistenze, è possibile trasformare un segnale triangolare in uno sinusoidale con un’accettabile approssimazione. Il circuito è abbastanza conosciuto ma sia sugli scaffali delle librerie tecniche che in rete c’è pochissima e poco descrittiva documentazione per poterlo dimensionare. Ho deciso allora di intraprendere uno studio analitico del circuito per comprenderne a pieno il funzionamento e per potere generare formule semplici partendo da una matematica un tantino più complessa.
Inizio con la descrizione del funzionamento del formatore. Fig. 1
Fig. 1
In figura sono presenti il segnale sinusoidale (in blu) da formare partendo da un certo numero si segnali triangolari (limitati a tre per chiarezza grafica, ma come vedremo maggiore è il loro numero migliore è l’approssimazione) che hanno decrescenti ampiezze (A, B, C).
Come è facile notare ogni fronte iniziale di ognuno dei segnali triangolari è tangente ad una parte di quello sinusoidale, si comprende subito che maggiore è il numero di questi segnali triangolari con ampiezze sempre minori, migliore sarà la sinusoide ricreata.
Ogni segnale triangolare deve lasciare il posto a quello successivo di ampiezza minore dopo un tempo t, quando cioè il suo fronte inizia a discostarsi troppo da quello della sinusoide, quindi in figura sono rappresentati tre tempuscoli (t1, t2, t3) nei quali deve avvenire la commutazione da un segnale triangolare a quello successivo di ampiezza minore.
In realtà non esistono tanti segnali triangolari ai quali “si cambia la consegna”, ma solo uno (quello presente in ingresso del formatore) del quale, a determinati tempi “t”, se ne varia l’ampiezza. Si potrebbe vedere il sistema come composto da tanti interruttore che attivano una attenuazione del segnale d’ingresso e che si chiudono quando il livello di quest’ultimo raggiunge quello corrispondente al tempuscolo suddetto, come in Fig.2.
Si nota in figura che al tempo “t” l’interruttore si chiude e attiva l’attenuazione corrispondente (A, B, C) tramite partitore resistivo; in realtà, anche se un tale sistema è possibile (esistono interruttori integrati molto veloci), quello più semplice ed economico implementa solo diodi e resistenze, inoltre è possibile fare a meno di un interruttore (quello relativo all’ampiezza A) dato che il livello corrispondente ad esso può essere scelto come valore massimo del segnale triangolare d’ingresso al formatore.
Il circuito reale è raffigurato in fig. 3.
La tensione continua V2 e le resistenze R6, R4, R5 (per la parte della semionda positiva), R9, R8, R7 (per la parte della semionda negativa), servono per generare tensioni a riposo corrispondenti rispettivamente a quelle (“b”, “c”) dove deve avvenire la commutazione per attuare l’attenuazione corrispondente (“B”, “C”), attenzione a non confondere le lettere minuscole da quelle maiuscole.
Da “t1” a “t2” non è in funzione nessuna chiusura ed il segnale triangolare di ampiezza “A” si trova in uscita così come è in ingresso. Al tempo “t2” il livello del segnale in ingresso raggiunge il valore “b” corrispondente a quello esistente ai capi di R6, allora il diodo entra in conduzione (in realtà il livello d’ingresso, per mandare in conduzione il diodo, deve essere “b” più 0.65V, valore di soglia del diodo che si può comunque trascurare nei calcoli) mettendo in collegamento R6 con R3. Scegliendo R6 molto piccola rispetto ad R3 (vedremo in seguito come fare), si può considerare quest’ultima collegata a massa. In queste condizioni si determina una partizione resistiva (tra R1 ed R3) che attenua il livello “A” portandolo a quello “B”. Dal tempo “t2” al tempo “t3” non avviene nulla, quando il segnale precedentemente attenuato al tempo “t3” assume il valore “c” (“c” + 0.65V) allora il diodo D1 va in conduzione collegando la serie R4, R6 con la resistenza R2 che si trova (assumendo come sempre che la somma R4, R6 sia molto piccola rispetto ad R2) a massa. Ora però, per l’assunto che R4 ed R6 siano trascurabili, la resistenza R2 si trova in parallelo con la R3 perché il diodo D2 è rimasto in conduzione e ci rimarrà fintanto che la tensione non scenderà ad un valore minore di “b” (ovvero alla prossima discesa del fronte del segnale in ingresso), cioè il segnale dovrà essere attenuato partendo ora dal livello “B” e non più da quello “A”. La parte composta dai diodi D3, D4 e dalle resistenze R8, R9 svolgono la stessa funzione appena descritta per la semionda negativa.
Lo schema in fig.3 rappresenta un formatore a 2 celle il che corrisponde a due attenuazioni o due segmenti tangenti (ogni cella è composta da due diodi), quello che considero per lo studio analitico è un po’ più complesso (4 celle) che approssima abbastanza bene la sinusoide.
Adesso bisogna applicare un po’ di matematica mettendo in ordine tutti i passi da eseguire.
SCELTA DEL TEMPO DI COMMUTAZIONE
Essendo il formatore composto da 4 celle i tempi di commutazione sono 4, per poterli determinare non ho usato alcuna procedura matematica ma ho individuato graficamente i punti dove è più conveniente far attuare le commutazioni scegliendoli in zone subito dopo che il fronte del segnale triangolare (tangente in quel punto considerato) si distacca da quello sinusoidale. E’ opportuno trasformare le unità di misura delle ascisse da tempi a radianti per rendere lo studio indipendente dalla frequenza; un ciclo completo di periodo “T” espresso in secondi corrisponde a:
(radianti)
[1]
e un tempo generico “t” :
(secondi)
[2]
Dove n è un numero intero. Sostituendo la [1] nella [2] si ottengono le frazioni di radianti corrispondenti ai tempuscoli “t”:
(radianti)
[3]
I punti che ho scelto per la commutazione sono n1 = 20.4 , n2 =11.36, n3 = 8.6, n4 = 7.4, non conviene considerare valori maggiori a n4 dato che oltre questo limite la differenza tra la tensione di commutazione (“b”, “c”…) e quella attenuate (“B”, “C”…) diventano della stesso ordine di grandezza ed il diodo non va più in conduzione, come risultato avremo una sinusoide un po’ appuntita ma come vedremo in seguito, con due diodi zener in controfase, si riuscirà ad appiattirla.
Adesso, per ogni tempo prescelto, bisogna determinare a quanto ammontano le attenuazioni necessarie; per conoscerle occorre ricorrere alla derivata da applicare alla funzione sinusoidale. La derivata, il rapporto infinitesimale tra la variazione della funzione e la variabile di cui è dipendente (nel nostro caso il rapporto infinitesimale tra variazione della tensione sinusoidale ed il tempo o i radianti) indica la pendenza della tangente al punto considerato. Senza entrare nei meandri del calcolo infinitesimale, si può dire che ad esempio nella fig. 1 la derivata nel punto “b” indica la pendenza della tangente in quel punto che è anche il fronte di salita del segnare triangolare; se noi lo prolunghiamo fino a farlo toccare con la verticale che passa per il centro della sinusoide avremo il valore di tensione voluto. Ovviamente non occorre farlo graficamente, basta applicare la derivata e qualche altra operazione.
Per chiarire meglio il concetto si analizzi la fig. 4 dove è stato scelto un punto arbitrario “p”.
Fig. 4
La derivata in quel punto è il rapporto tra grandezze infinitesimali (dv / dt che ho ingrandito a dismisura, roba da fare impallidire i veri matematici perché in realtà queste variazioni infinitesimali dovrebbero esistere solo nel punto), ma essendo una retta quella che va dal punto “p” al punto “P” (e quindi non ci sono variazioni di inclinazione rispetto alla tangente al punto considerato) si può ritenere che:
[4]
Ma allora possiamo conoscere il valore della tensione “P” applicando la seguente formula:
[5]
Quindi prima bisogna conoscere la derivata della funzione sinusoidale, poi portare l tempo in radianti ed il gioco è fatto. La funzione sinusoidale è espressa:
[6]
Dove v è il valore di tensione istantaneo al tempo t e VM il valore massimo della funzione sinusoidale (che io in questa pagina ho scelto arbitrariamente pari a 10V) e:
[7]
Dove f è la frequenza.
La derivata della funzione v rispetto al tempo è:
[8]
Adesso sostituisco la [1] e la [2] nella [6] e nella [8] e ottengo delle relazioni indipendenti dal tempo e dalla frequenza:
[9]
[10]
Adesso, sempre in riferimento della fig.4 applicando la [5], e sommandone il risultato alla tensione corrispondente al punto “p” (5.4V nella figura) ottengo:
[11]
Abbiamo quindi ottenuto per quel punto “p” generico il valore di picco del segnale triangolare corrispondente. Bisogna ora determinare tutti i valori necessari per dimensionare il formatore. Analizziamo il circuito rappresentato in fig. 5.
Fig. 5
Determino le tensioni corrispondenti alla commutazione che dovranno essere presenti su ogni catodo dei diodi D11, D9, D7, D5 e su ogni anodo dei diodi D12, D10, D8, D6, come detto precedentemente il valore massimo della sinusoide l’ho scelto arbitrariamente pari a 10V.
Si parte da n1 = 20.4, applico la [9]:
[11]
Per n2 = 11.3:
[12]
Per n3 = 8.6:
[13]
Per n4 = 7.4:
[14]
Quando il segnale raggiungerà il valore di ognuna di queste tensioni manderà il diodo corrispondente in conduzione abilitando l’attuazione successiva.
Ora calcolo il valore delle resistenze scegliendo di far circolare una corrente a riposo di 0.1 A valore abbastanza alto tale da renderle sufficientemente piccole.
[15]
[16]
[17]
[18]
Scegliendo la tensione del generatore V2 di poco superiore a vp4, ad esempio pari a 10V, determino le ultime due resistenze:
[19]
Tenete conto che dato che il generatore deve fornire una tensione di 10V sia al ramo superiore che a quello inferiore, la sua tensione deve essere pari al doppio della suddetta e cioè di 20V.
Per ultimo trovo le resistenze che assieme a R1 determineranno le giuste attenuazioni. Scelgo R1 pari a 10K (valore che deve essere superiore di almeno 1000 volte rispetto alla più piccola resistenza, in questo caso rispetto a R14 o a R15). Applico la [11] senza immettere però il valore vp dato la partizione del segnale è riferita alla stessa tensione e non a massa.
Per n1 = 20.4:
[20]
Per n2 = 11.3:
[21]
Per n3 = 8.6:
[22]
Per n4 = 7.4:
[23]
Per il tempo zero (inizio della sinusoide) n0 è infinito (dalla [2]), quindi per n0 = infinito il coseno è 1 e il valore massimo, che è quello d’ingresso al formatore senza alcuna attenuazone, è pari a:
[24]
Determino per ultimo le resistenze di attenuazione tramite la formula del partitore:
[25]
Le prossime debbono tenere conto delle partizioni precedenti, per cui la resistenza vista è pari alla precedente determinata in parallelo con R1 e così via.
[26]
Dove:
[27]
[28]
Dove:
[29]
[30]
Dove:
[31]
Abbiamo completato il dimensionamento, il risultato è visibile nella sottostante figura, i diodi zener servono ad appiattire la sinusoide ed il valore di R29 va determinato per tentativi.
La tensione campione è una sinusoide perfetta, vout è quella formata partendo dal segnale triangolare.
Ho usato il simulatore LTSPICE, un generatore di funzioni che usa il formatore lo trovate alla seguente pagina.
Ciao
Fabio