*Le trasformazioni di Lorentz*

di Michele Moroni

Versione 3.1 Gennaio 2005

(Si ringrazia la dott.sa Simona Pisati per gli utili suggerimenti)

Nota sulle unità di misura e postulati

In fisica classica si utilizza comunemente il sistema CGS (centimetri-grammi-secondi) o il sistema internazionale (metri-chilogrammi-secondi). In relatività questa scelta non risulta appropriata poiche' introduce delle costanti moltiplicative che rovinano l'eleganza e la bellezza di alcune formule, rendendole asimmetriche. Per ovviare a questo problema ci sono due soluzioni fondamentali, la prima cambiare l'unità di misura del tempo, la seconda cambiare l'unità di misura dello spazio. In queste lezioni di relatività useremo quindi il sistema chiamato "relativistico" (SR) ottenuto dal CGS sostituendo il centimetro con il secondo luce.

Nel SR l'unità di misura della lunghezza è il secondo luce, ovvero la lunghezza che la luce percorre nell'intervallo di tempo di un secondo. In questo caso l'unità di misura della velocità è "secondi-luce al secondo". La velocità della luce c sarà, per definizione, un secondo luce al secondo, e quindi in questo sistema c = 1. Come vedremo successivamente la relatività impone che nessuna particella materiale si muova a velocità v superiore a quella della luce e quindi v<1.

In queste lezioni viene inoltre considerato valido il seguente postulato: la velocità della luce nel vuoto è indipendente dal sistema di riferimento dell'osservatore che la misura.

_______________________________

Consideriamo un diagramma spazio tempo bidimensionale x = x(t)

Fig 1.1 Esempio di diagramma spazio-tempo (si ricordi che x è espresso in secondi luce)

Un punto nel diagramma spazio-tempo, a fissate coordinate (x, t), è chiamato evento. Una particella o un osservatore che si muove nello spazio tempo descrive una traiettoria chiamata linea d'universo.

La derivata della linea d'universo di una particella è legata alla sua velocità dalla relazione:

(1)

Risulta evidente come un raggio di luce (v = 1) sia una retta inclinata di 45°.

Supponiamo che un osservatore O stia utilizzando un sistema di coordinate (x,t) , mentre un altro osservatore O' (che in generale utilizza un sistema di coordinate diverso x',t') si muove di moto rettilineo uniforme nel diagramma spazio tempo dell'osservatore O, descrivendo la linea d'universo disegnata in blu nel diagramma seguente. Nel sistema di riferimento O' la linea d'universo che descrive il movimento di O' coincide con l'asse temporale t'. Risulta quindi evidente che questa linea d'universo disegnata in blu rappresenta l'asse t' dell'osservatore O'

Fig 1.2: l'asse t' di una particella che si muove
con velocità v rispetto ad O

Quale sarà la posizione dell'asse x' nel diagramma spazio-tempo di O?

Per rispondere consideriamo prima i seguenti 3 eventi nel diagramma spazio-tempo dell'osservatore O' (mostrato in figura 1.3), definiti come segue:

Evento A) Un fascio di luce è emesso dal punto A (0,-a)
Evento B) Il fascio viene riflesso nel punto (a, 0)
Evento C) Il fascio viene ricevuto dall'osservatore nel punto (0,a)

Sappiamo già dove si trova l'asse t' nel diagramma di O (si veda la figura 1.2). Dato che quest'asse definisce il luogo geometrico x'=0 possiamo collocare immediatamente gli eventi A e C [rispettivamente a t'=-a e t'=a]. Secondo il postulato fondamentale della teoria della relativita' speciale la velocità della luce è costante in ogni sistema di riferimento; ciò significa che in ogni sistema di riferimento un fascio luminoso è sempre rappresentato da una retta inclinata di 45°. Possiamo quindi immediatamente disegnare nel diagramma di O il fascio di luce emesso da A, che si muove lungo una linea d'universo inclinata di 45° (con derivata positiva) . Il fascio riflesso deve arrivare all'evento C, quindi sicuramente esiste una retta inclinata di 45° (con derivata negativa) che passa attraverso il punto C. L'intersezione di queste due linee rappresenta l'evento B in O. Segue quindi immediatamente che l'asse x' è la retta che connette questo punto e l'origine.

Fig 1.4: Riflessione della luce in O' vista da O

Osservazione 1): la retta x' è simmetrica a t' rispetto alla linea d'universo L di un raggio di luce che attraversa l'origine del sistema (come è facile dimostrare partendo da considerazioni geometriche)

Uno dei risultati più sorprendenti di questa trattazione è che eventi contemporanei in O' non sono contemporanei in O

Avendo gli assi dei sistemi O e O' la stessa origine (risultato ottenuto sincronizzando gli orologi dei due osservatori nel momento in cui passano vicini), la piu' generale trasformazione che consente di passare dal sistema di riferimento O al sistema di riferimento O' è:

(2)

Dove i coefficienti all'interno della matrice 2x2 dipendono solo dalla velocità v di O' rispetto ad O e non dipendono da t, x, t' e x'

Utlizzando la relazione (1) è immediato osservare che la retta t' (luogo geometrico x'=0) nel sistema di riferimento O soddisfa l'equazione

(3)

Imponendo x' = 0 nella (2) si ricava un'altra equazione a cui soddisfa la retta t' nel sistema di riferimento O

(4)

Confrontando la (3) con la (4) si ottiene

(5)

Tenendo presente l'osservazione 1 risulta invece immediato dimostrare che l'equazione della retta x' (luogo t'=0 in O' ) nel sistema di riferimento O è:

(6)

Possiamo quindi ottenere un'altra equazione della retta x' in O imponendo t'=0 nella (2)

(7)

da cui , confrontando la (7) con la (6)

(8)

Sostituendo la (5) e la (8) nella (2) si ottiene:

(9)

Ovviamente la relazione 2 (e quindi la 9) è verificata anche per i punti che appartengono ad una traiettoria di tipo luce.

Sapendo che la velocità della luce è costante in ogni sistema di riferimento si deduce che, per questo tipo di traiettoria, deve essere verificata la relazione

(10)

combinando le relazioni (10) con la (9), e ricordando che v è la velocità del sistema di riferimento O' , quindi sempre <1

e quindi

Da cui, sostituendo nella (9)

(11)

Ovvero, se si preferisce

(12)

Consideriamo ora il sistema di riferimento O. Rispetto ad O' questo si muove di moto rettilineo uniforme con velocità -v , quindi, con procedura analoga a quella qui seguita deve essere

(13)

ma, invertendo la (12) si ricava....

(14)

da cui, confrontando la (13) con la (14)

ovvero

Per v = 0 deve essere w = w'e x = x' , ciò implica che è accettabile solo la soluzione positiva

quindi le trasformazioni di Lorentz possono essere scritte come

è esattamente la relazione che volevamo trovare, ovvero una relazione che lega due sistemi di coordinate uno in moto rettilineo uniforme rispetto all'altro (TRASFORMAZIONI DI LORENTZ)

Articoli -- Indice Lezioni -- Lezione Seguente