Forza elastica e geometria analitica
Ulteriori cenni di geometria analitica
Abbiamo già visto che una delle regole fondamentali della geometria analitica afferma che i punti sono descritti da coppie ordinate di numeri P = (xP, yP) mentre le rette sono descritte da equazioni matematiche. In questa sezione vogliamo analizzare un po' meglio il modo in cui la geometria analitica descrive le rette per mezzo di equazioni matematiche.
Per prima cosa ricordiamo che le rette passanti per l'origine sono descritte da equazioni matematiche del tipo y = a · x. Nel nostro esempio y è la forza F applicata alla molla, x è l'allungamento della molla, mentre a coincide con la costante elastica della molla (che è un numero fissato una volta che abbiamo scelto la molla). La potenza della geometria analitica risiede proprio in questo: ogni retta passante per l'origine è associata a un'equazione del tipo y = a · x; viceversa, ad ogni equazione del tipo y = a · x corrisponde una particolare retta passante per l'origine. La costante a è un numero che prende il nome di coefficiente angolare della retta. Tale numero caratterizza la pendenza della retta: rette con grandi valori di a tendono ad essere allineate con l'asse verticale, rette con piccoli valori di a tendono invece ad essere allineate con l'asse orizzontale. Due rette sono parallele quando hanno la stessa pendenza, ossia quando hanno lo stesso coefficiente angolare.
Ricordiamo che un punto sta su una retta se le sue coordinate (xP, yP) soddisfano l'equazione della retta. È chiaro che se vogliamo descrivere analiticamente una retta non passante per l'origine, dobbiamo usare un'equazione diversa rispetto y = a · x. In quest'equazione infatti all'ascissa x = 0 corrisponde sempre l'ordinata y = a · 0 = 0, pertanto la retta y = a · x non può non passare per l'origine (0, 0). Se vogliamo descrivere anche le rette che non passano per l'origine dobbiamo introdurre un secondo parametro b e considerare equazioni del tipo y = a · x + b. In questo caso all'ascissa x = 0 corrisponde l'ordinata y = b e quindi la retta può intersecare l'asse delle ordinate ad una qualunque altezza b. Si può dimostrare che ogni retta del piano cartesiano (non parallela all'asse y) si può scrivere nella forma y = a · x + b e, viceversa, ad ogni equazione del tipo y = a · x + b corrisponde una particolare retta del piano.
Come casi particolari, se b = 0 riotteniamo le rette y = a · x, passanti per l'origine. Se a = 0 otteniamo che y = b, ossia l'insieme dei punti che hanno ugual ordinata. È facile rendersi conto che l'insieme di tali punti è una retta parallela all'asse delle ascisse. Viceversa le rette parallele all'asse delle ordinate sono descritte da rette del tipo x = b, ossia una retta parallela all'asse delle ordinate è caratterizzata dall'avere le ascisse uguali ad una costante.
La geometria analitica consente di dare una descrizione matematica anche di linee che non sono rette ma curve. Un esempio importante per le sue applicazioni in fisica è costituito dalla parabola y = a · x2. Ad esempio, se consideriamo la lunghezza l di un pendolo e il suo periodo di oscillazione T si può provare in laboratorio che l e T2 sono direttamente proporzionali, ossia il rapporto l / T2 = k, dove k è una costante. In questo caso si dice che tra la lunghezza l del pendolo e il suo periodo T c'è una proporzionalità quadratica. Per esercizio prova a disegnare sul tuo quaderno tutti i punti che soddisfano l'equazione l = k T2. Otterrai il grafico di una parabola passante per l'origine.
