Analisi plastica. Metodo statico (lower bound).

Problema. Determinare il carico limite Ql per il profilo in acciaio in figura utilizzando il teorema del limite inferiore (metodo lower bound).

Noti: IPE 180; acciaio S235; l = 4 m; b = 2,5 m.

---

Secondo il teorema del limite inferiore (Melan) un insieme di carichi staticamente ammissibile per i quali non sia superato il momento plastico sopportabile da una struttura è  minore o al limite uguale all’effettivo carico limite.

Poiché il carico limite determinato con il metodo statico è anche minore o al limite uguale a quello calcolato con il metodo cinematico originato dal teorema del limite superiore (metodo upper bound) ne consegue che se l’insieme dei carichi staticamente ammissibile dà origine anche ad un meccanismo esso corrisponde al carico limite.

 

In altri termini l’insieme dei carichi per essere considerato carico limite deve:

ü  essere staticamente determinato (rispettare cioè le equazioni della statica);

ü  non deve superare le resistenze plastiche della struttura;

ü  deve originare un meccanismo.

 

Nel seguito, a fini didattici, verranno esplorate diverse soluzioni staticamente determinate per verificare praticamente il teorema, arrivando in conclusione alla determinazione del carico limite.

Calcolo del momento plastico Mp sopportabile dalla struttura.

La tensione di calcolo del materiale a flessione vale

Dal sagomario si ricava per il profilo IPE 180

Wpl = 166415 mm3; Classe 1.

Il profilo è in classe 1 ed è pertanto utilizzabile il calcolo plastico secondo le Norme Tecniche.

Il momento plastico sopportabile dalla struttura è dato da:

Nel calcolo precedente il taglio è stato ipotizzato trascurabile; nel caso opposto il momento plastico subisce una riduzione del suo valore.

 

Calcolo elastico

Come primo tentativo è possibile ipotizzare, in maniera assolutamente arbitraria, un carico Q = 38 kN in condizioni elastiche.

L’incognita iperstatica in corrispondenza dell’incastro A vale

Essa ha un valore negativo nel diagramma dei momenti.

Scrivendo l’equazione di equilibrio alla rotazione in A si ottiene

Il momento di campata vale

La soluzione ipotizzata rispetta l’equilibrio statico, presenta la sollecitazione massima M in A minore del momento plastico della struttura ma è inferiore quella limite perché non dà origine ad un meccanismo.

 

Il valore di Q è stato ipotizzato in maniera arbitraria. Un valore più basso non è di alcuno interesse poiché il carico limite è maggiore di quello ipotizzato; valori più alti verranno ricercati nel seguito.

 

Formazione della prima cerniera plastica.

Al crescere del carico Q fino al raggiungimento di Qp il momento M aumenta fino a raggiungere il valore del momento plastico Mp nella sezione A che è quella maggiormente sollecitata. L’incastro in A si trasforma in una cerniera plastica in corrispondenza della quale è applicato il momento Mp.

Il carico Qp corrispondente al momento Mp vale

La soluzione appena calcolata rispetta l’equilibrio statico, presenta la sollecitazione massima M in A non superiore al momento plastico della struttura ma è inferiore quella limite perché non dà origine ad un meccanismo.

Formazione della seconda cerniera plastica.

Aumentando il carico Qp, il momento MC cresce fino a raggiungere anch’esso un valore pari a Mp. L’incastro interno in C si trasforma in una cerniera plastica in corrispondenza della quale è applicato ancora il momento Mp. La struttura assume la forma di un meccanismo ed un qualsiasi ulteriore aumento del carico Q ne procura il movimento.

Considerando l’equilibrio alla rotazione in C del tratto CB si ha

dalla quale si ricava

Analogamente l’equilibrio alla rotazione per il punto A dell’intera trave AB fornisce

La soluzione appena calcolata rispetta l’equilibrio statico, presenta i momenti massimi in A e in C  non superiori al momento plastico della struttura e corrisponde a quella limite perché  dà origine ad un meccanismo.

Verifica della soluzione.

La soluzione calcolata in precedenza rappresenta il carico massimo sopportabile dalla sezione. A riprova attribuiamo in maniera arbitraria un nuovo valore al carico Q = 68kN > Ql, dopo la formazione della prima cerniera elastica in A.

 

La soluzione appena calcolata rispetta l’equilibrio statico ma presenta la sollecitazione massima MC superiore al momento plastico della struttura e, pertanto, non è ammissibile.

 

Riepilogo.

Riassumendo i risultati finora determinati si ottiene il seguente quadro

Q [kN]

soluzione staticamente determinata

soluzione plasticamente ammissibile

formazione di un meccanismo

38

si

si

no

48,90

si

si

no

64,57

si

si

si

68

si

no

si

 

La formazione della prima cerniera è avvenuta nella sezione A perché il momento elastico MA è risultato maggiore del momento MC.

Nel caso opposto il procedimento non perde la sua validità, comportando solo un cambio di sequenza nella formazione delle cerniere (prima in C e poi in A).

La determinazione del carico limite Ql non è influenzata dalla modalità di creazione del meccanismo, qui esposta a soli fini didattici, ma solo dalla sua configurazione finale.

 

La situazione ora ipotizzata si verifica per un carico Q posto in prossimità dell’appoggio B.

Ad esempio per b = 1,5 m il calcolo elastico iniziale produce i seguenti risultati

Torna all'indice