DILATAZIONE DEL TEMPO  E  CONTRAZIONE DELLE LUNGHEZZE

 

Prof. Antonio Di Muro

 

 

  

 

 *                  Postulati della relatività speciale:

 

 

 

    1 ) Le leggi della fisica assumono la stessa forma in ogni sistema di riferimento

          inerziale.

  

 

    ( da notare che esiste già un principio di relatività, quello galileiano, ma riguarda le leggi della meccanica; con

    “leggi della fisica” si intendono proprio tutte le leggi, infatti le trasformazioni galileiane non funzionano con le

    equazioni di Maxwell che regolano l’elettromagnetismo )

  

 

    2 ) La velocità della luce nel vuoto è indipendente dal moto dell’osservatore o

         della sorgente.

 

 

 

 

*                  Dilatazione dei tempi:

 

 

Consideriamo un osservatore A che si muove a velocità v col marchingegno in figura costituito da una torcia

elettrica e da uno specchio. Ad un certo istante l’osservatore A fa partire un breve segnale luminoso.

L’osservatore B è fermo e…….osserva.

                                            
   

Cosa vede e misura l’osservatore A?

 

           

L’osservatore A con il suo orologio misura il tempo che la luce impiega per percorrere la distanza 2 L.

Essendo l’osservatore A a riposo con la torcia elettrica vedrà la luce muoversi verticalmente verso l’alto e ritornare, sempre verticalmente al punto di partenza.

 

Visto che la velocità è definita come 

         

 

 

si ha:  

 

 
 

 

dove c è la velocità della luce.

   

      

        Cosa vede e misura l’osservatore B?

 

 

 

 

 

L’osservatore B con il suo orologio misura il tempo che la luce impiega per effettuare il percorso

dall’emissione ( punto C ) alla ricezione ( punto E ).

Secondo la meccanica classica i tempi misurati da A e da B dovrebbero essere uguali, ovvero:

 

   
 

 ma…….. 

 

il percorso visto dall’osservatore B è molto più lungo di 2 L. 

Se i tempi fossero uguali si dovrebbe avere

 

   
 

 

 

visto che CD + DE > 2 L

 

l’eguaglianza potrebbe sussistere solo se la velocità della luce misurata dai due osservatori non fosse costante.

Considerando invece come valido il secondo postulato della relatività speciale, dal teorema di Pitagora si ha:

 

 

(1)  CD 2  = CH 2 + L 2 ,  ma 

   

 

 

sostituendo nella (1) si ha:

 

 

 

 

semplificando e raccogliendo si ha:

 

 
 

 

dividendo per c 2 ed estraendo la radice quadrata si ha:

        

 

 

il termine

 

 

 

è detto fattore relativistico.

 

 

 

 

Dalla relazione si evince che per basse velocità il termine frazionario a denominatore risulta trascurabile

rispetto ad 1, in tal caso si ha        in accordo con ciò che classicamente ci aspettiamo.

Visto che , si potrebbe pensare che il tempo per un osservatore in moto scorra più

lentamente rispetto ad un osservatore fermo.

 

In effetti molte volte si sente dire :

   

    “ per l’osservatore in movimento il tempo scorre più lentamente ”

 

                         Questa affermazione non è corretta

 

se B è fermo ed A è in moto allora  , ma d'altra parte dal punto di vista di A è B che si muove

per cui  , entrambi gli osservatori hanno ragione nell'affermare che nell'altro sistema di riferimento

il tempo scorre più lentamente, tuttavia se l'intervallo di tempo è riferito a due eventi allora tutti gli osservatori

sono d’accordo nel dire che l'osservatore che vede gli eventi avvenire nello stesso luogo misura anche il tempo

minore.

 

Ovvero,

 

il tempo tra due eventi è minore per l’osservatore che vede gli eventi avvenire nello

stesso luogo

 

In effetti l’osservatore A vede gli eventi “partenza della luce”, “ arrivo della luce” avvenire nello stesso luogo

( sulla torcia elettrica ), mentre l’osservatore B vede i due eventi  avvenire in luoghi diversi.

 

Il tempo minore è detto tempo proprio   per cui

In generale, nella forma differenziale: 

                                                              

 

 

 

 

*            Contrazione delle lunghezze :

 

 

 

Consideriamo un osservatore A che si muove a velocità v ed un osservatore B fermo. 

Entrambi gli osservatori vogliono misurare la lunghezza dell’auto.

L’osservatore A può misurare l’auto prendendo, con il suo orologio, il tempo trascorso tra i due eventi

in figura dati dalle frecce rosse.

 
 

Si ha:  

L’osservatore B misura nello stesso modo prendendo con il suo orologio il tempo trascorso tra i due

eventi segnati dalle frecce blu.

 

Si ha: .

 

Confrontiamo ora le lunghezze misurate, nel rapporto si ha:

     

   

tuttavia abbiamo visto che i tempi subiscono una dilatazione, in particolare l’osservatore che misura

il tempo proprio è B perché vede avvenire gli eventi nello stesso luogo.

 

Sarà quindi , ed 

   

cioè

    

.

 

Quindi L A > L B

 

 

la lunghezza di un oggetto, lungo la direzione del moto, appare essere più corta

ad un osservatore che non è a riposo con l’oggetto.

 

 

In generale indicando con L 0 la lunghezza di un righello misurata da un osservatore O fermo rispetto ad esso,

e con L la lunghezza dello stesso oggetto misurata da un osservatore O’ in moto si ha:

                               
 

Per esempio una circonferenza tracciata in O viene vista come una ellisse da O’.

                                                                         

 

 

*           Un esempio:  i muoni

 

 

 

I raggi cosmici provenienti dal sole creano nell'alta atmosfera i muoni

 

                                                        
 

 

questi hanno una vita media di soli 2.2 10 - 6 s e viaggiano con una velocità vicina  a c.

 

Supponendo di porre la loro velocità proprio uguale a c ( per semplicità ) allora dovrebbero percorrere

uno spazio di 3 10 8 m/s * 2.2 10 - 6 s = 660 metri,

 

invece i muoni vengono rilevati normalmente sulla superficie terrestre.

 

Come fanno i muoni ad arrivare a terra?

 

La spiegazione è puramente relativistica.

 

Il muone “vive” solo 2.2 milionesimi di secondo per cui tale tempo è un tempo proprio tra gli eventi “nascita” e “morte”

( meglio dire formazione e decadimento ) del muone perchè tali eventi sono ovviamente a riposo con la particella.

 

Dal nostro punto di vista il muone nasce nell’alta atmosfera, ma decade a terra. Vediamo quindi i due eventi in luoghi diversi.

 

Il tempo di vita del muone è quindi, per noi, affetto da dilatazione relativistica e misuriamo  un

ovvero  , in questo modo possiamo spiegare l’arrivo dei muoni a terra. 

Dal punto di vista del muone, questo ha solo 2.2 10 - 6 s di vita, ma “vede” la terra avvicinarsi a c per cui non è a riposo con la lunghezza “distanza dalla terra”.

 

Entra in funzione la contrazione delle lunghezze, ovvero per il muone la terra dista solo 660 metri.