Si definisce circonferenza il luogo geometrico dei punti del piano che hanno la stessa distanza da un punto detto centro.

Si definisce raggio la distanza da un punto o dal centro della circonferenza.

Si definisce diametro la corda massima.

Si definisce corda il segmento che unisce due punti della circonferenza a e b.

Si definisce cerchio la superficie occupata dalla circonferenza.

Nel piano cartesiano la circonferenza a due equazioni in X e Y. Se scegliamo come coordinate α e  β . avremo la seguente espressione:

                     c(α ;  β )²                        c( 0:0 )  

espressione:

                                                        (x - ά)² +   (y - β )²  = r ²        

Il punto, la retta e il piano sono detti enti primitivi , perché sono privi di significato .

Si definisce semiretta la parte di retta che resta divisa da un dato punto .

Si definisce segmento la parte di retta delimitata da due punti a e b .

Si definisce angolo la parte di piano costituita da due semirette uscenti dagli stessi punti detti vertici. 

Due angoli si dicono opposti al vertice se i lati del primo sono il prolungamento del altro.

Un angolo si dice alla circonferenza se ha il vertice concentrato  in un punto della   circonferenza.

Un angolo si dice al centro se ha il vertice concentrato nel centro della circonferenza.

Un angolo al centro e uno al circonferenza che insistono su uno stesso arco , avremo che quello al centro è il doppio di quello alla circonferenza.

                                                 Teorema di Pitagora 

Il teorema di Pitagora dice che:

in un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti su i due cateti;

                                                          I ² = C a ² + C b ²

Due figure geometriche si dicono equivalenti se hanno la stessa area .

                                                           Goniometria

Si definisce circonferenza goniometrica la circonferenza che  a il centro nell’origine degli assi e come raggio uno ( unità di misura scelta da noi ). Essa ha la seguente espressione:

                                                                          x ²+ y ² = 1

Nella circonferenza goniometrica gli angoli si contano proseguendo in senso antiorario.

Gli angoli si misurano in radianti .

Un radiante è un angolo al centro che insiste su un arco di lunghezza uno.

La formula per passare da gradi a radianti è la seguente:

                                    αº : α radianti = 180º : Π

                                          Funzione  seno

Si definisce seno di un angolo α l'ordinata dell'estremo libero dell'arco.

Il seno di un qualunque angolo è compreso tra -1 ed 1.

Il seno è una funzione periodica che si ripete ogni 360 °.

                                           I valori del seno in corrispondenza degli angoli.

seno  0°= 0°                                     seno 270°= -1

seno 90°= 1                                      seno 360°= 0

seno 180° = 0°                                                        

                                                     Funzione coseno

Si definisce coseno dell'angolo α l'ascissa dell'estremo libero dell'arco.

Il coseno è una funzione periodica di 360°.

                                  I valori del coseno in corrispondenza degli angoli

cos 0°= 1                                     cos 180° = -1                  cos 360° = 1

cos 90° = 0                                cos 270°= 0

Il coseno di qualunque angolo è compreso tra 1 e -1.

                                                                    Tangente

Si definisce tangente dell'angolo α l'ordinata del punto di intersezione tra la tangente geometrica alla circonferenza condotta dal punto a e il prolungamento  dell'estremo libero dell'arco.

                       I valori della tangente in corrispondenza degli angoli.

tag 0°=0°                                      tag 180° = 0

tag 90° = +infinito                        tag 270° = -infinito

                               tag 360° = 0

La tangente è una funzione periodica di 180°.

                                                         Cotangente

Si definisce cotangente di un angolo  α l'ascissa del punto di intersezione tra la tangente geometrica alla circonferenza condotta dal punto B e il prolungamento dell'estremo libero dell'arco.

La cotangente è una funzione periodica ( cioè si ripete ) di 180°.

                                                I valori della cotangente in corrispondenza degli angoli

cotg 0° = + infinito                                       cotg 90° = 0  

cotg 180° = - infinito                    cotg 270° = 0°                     cotg 360° = + infinito

                                                            Secante e cosecante

Si definisce secante di un angolo α  la quantità 1 fratto coseno di alfa appatto che alfa sia diverso da 90° + 2k180° e da 270°+ 2 k180°.

Si definisce cosecante di un angolo α la quantità 1 fratto il seno di alfa appatto che alfa sia diverso da 0 + 2k180° e 180°+ 2k180°.

                                                       La relazione che lega la tg e la cotg al seno di alfa.

                              tg ά = sen άfratto il cosά

                              cotg ά = cos ά fratto il senά

                                                                      La relazione fondamentale

                              sen²ά   + cos² ά = 1

Per poter ricavare questa formula prendiamo in considerazione una circonferenza tracciamo il suo raggi OP e la sua altezza HO utilizzando il teorema di Pitagora ricaviamo la seguente formula:

               teorema:    OP²=PH²+OH²

               avremo:    1= sen²ά+cos²ά

                      Formule di addizione

  Poniamo due angoli α e β noi di entrambi gli angoli conosciamo tutte le funzioni . Ma in più possiamo conoscere le funzioni di(α+ β )  con le seguenti formule:

           sen (α+ β )  = sen α cos β +  cos β sen α

            cos(α+ β )   = sen α cos β -  cos β sen α

1                                       Formule di sottrazione

 Allo stesso modo possiamo conoscere le funzioni di ( à - á ) con le seguenti formule:

           sen (α- β )   = sen α cos β -  cos β sen α

            cos (α- β )   = sen α cos β +  cos β sen α

                    Formule di duplicazione

      (ci permettono di calcolare il doppio dell'angolo )

 sen 2α = 2 sen α . cos α (formula di duplicazione del seno )

 Questa formula la possiamo scomporre facendo

    sen( α + α )= sen α cos α   -  cos α sen α = 2 ( sen α cos α )

    cos 2α = cos( α + α )=  cos αcos α   -  sen α sen α = cos²α - sen²α

                           Formule di bisezione

                ( Ci permettono di calcolare la metà dell'angolo )

                 sen = α/2 = √1- cos α/2

                 cos = α/2 = √1+ cos α/2

Si definisce identità goniometrica una uguglianza fra due espressioni goniometriche verificate qualunque sia il valore degli angoli.

Un eq, goniometrica è una uguaglianza tra due espressioni goniometriche verificate per determinati valori dell'angolo incognito

                                                          Angoli di 45°,30°,60°

α =  45°  (questo angolo si può anche scrivere come) = π/4

sen  45°  =  √2/2

cos  45°  =  √2/2

tg     45°  = 1

cotg 45°  = 1

                                                 dimostrazione delle varie funzioni ( come ad esempio dimostrare perchè il seno vale ( √2/2 )

     PH² + OH² = OP²

     PH² = OH²

     PH² + PH² = OP

     2PH² / 2 = OP² / 2

     OP = 1

     PH² = SEN 45°

         ( SEN 45° )² = 1/2

                                                           PER POTER DIMOSTRARE IL COSENO SI PROSEGUE

                                                                      SOSTITUENDO OH.

        SEN 45° = √1/2

        SEN 45° = 1 / √2

     SEN 45° = √2/2

   α=  30° ( si può anche scrivere come  π/6 )

sen  30°  =  1/2

                                                teorema

cos  30°  =  √3/2              In un triangolo rettangolo con un angolo

                                              di 30° e uno di 60° il cateto che sta difronte all'angolo di 30°è la metà

tg     30°  = √3/3              dell'ipotenusa.

cotg 30°  = √3

                                                      Dimostrazione

     PH = OP/2 = SEN 30° = 1/2 = COS 30° = √1-SEN² 30°

 α =  60° ( si può anche scrivere come  π/3 )

sen  60°  =  √3/2             

                                       cos  60°  =  1/2             tg     60°  = û3             

cotg 60°  = √3/3

     Dimostrazione

 OH = OP/2 = COS 60° = 1/2

                                                                                                    Angoli associati

 Un angolo si dice supplementare quando la sua somma è 180°

 Un angolo si dice complementare quando la sua somma è di 90°

 I vari angoli:

 -  α  ; + α ; π/2 ; 3/2 π + α  ; π/2 -  α ;
 3/2 π - α ; 2 π + α; 2 π - α:ecc

                   Angoli opposti

  sen (-α) = -sen α

  cos (-α) = +cos α

  tg  (-α) = -tg α

  cotg(-α) = -cotgα