Quadrato di un binomio                                         Il perchè della formula  "dimostrazione "

                                                                              ( a + b ) ( a+ b ) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b²

( a + b ) = a² + 2ab + b²

Il quadrato di un binomio è uguale a un polinomio formato da tre termini. Dato dal quadrato del primo monomio più il doppio prodotto del primo per il secondo termine, più il quadrato del secondo termine .

                                           Cubo di un binomio

( a + b ) ³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Il cubo di un binomio è uguale a un polinomio formato da quattro termini ; è dato dal cubo del primo più il triplo prodotto del primo al quadrato per il secondo più il triplo prodotto per il primo per il secondo al  quadrato , più il cubo del secondo. 

                                         Somma per differenza

( a + b ) ( a- b ) = a² - b²

E' uguale alla differenza per due quadrati.

Dimostrazione

a² - ab + ab + b² = a²- b²

Somma per differenza equivale ad un prodotto di due binomi particolari . Inquanto sono formati da due monomi uguali e da due monomi opposti.

                                     Quadrato di un trinomio

( a + b + c )² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc= a² + b²+ c²+ 6 a²b²c²

è uguale ad un polinomio formato da sei termini dato dal quadrato del primo termine più il quadrato del secondo termine più il quadrato del terzo termine, più il doppio prodotto del primo per il secondo più il doppio prodotto del primo per il terzo più il doppio prodotto del secondo per il terzo.

                                                     Divisione tra polinomi a coefficiente letterale

La divisione tra polinomi dove oltre alle lettere rispetto alla quale eseguiamo la divisione compaiono altre lettere i quali  vengono considerati numeri.

                                                       5a²b + a³ - 2ab² + b³ :   a² - 4ab + b²                      

                                                 -  a³ +   4a²b - ab²            a + 9b

                                                   9a²b -   3 ab²+ b³

                                                    -9a²b -   3 b

                                       Regola di Ruffini

E un altro modo per poter fare la divisione tra un polinomio qualsiasi e un binomio di primo grado con coefficiente vicino alla X uguale a uno.

2x³ + 3x - 8 : x + 2

2x³ + 0x³ + 3x - 8 : (x +  2 )                               il termine noto del divisore si pone con il segno cambiato.

                                            si cambia il segno a( + 2)

                                                                            teorema del resto

Il teorema del resto ci dice come calcolare il resto di una divisione qualsiasi e un binomio di primo grado.

come in questo caso:

A ( a ) = ( a² - a - 12 ) : ( a - 4 ) = a = 4

R (A  4 ) = ( 4 )² - ( 4 ) -12 

un altro esempio:

( 3a² - a - 12 ) : ( a - 4 ) =

R = A4 = - 3 ( 4 ) ² - ( 4 ) - 12 =

48 - 4 -12 = 32

R = 32

                                            Teorema di Ruffini

Se il resto è uguale a zero i due polinomi si dicono divisibili.

3a² + 2a - 5 : 2a - 1         (divido tutto per 2)

3a² / 2 + 2a / 2 - 5/2 : 2a / 2 - 1 / 2  ( elimino tutto quello che si può eliminare)

avrò cosi :

3a² / 2 + a - 5/2 : a - 1 / 2 

Se il grado non è 1 la regola di Ruffini non può essere applicata, invece se il coefficiente non è uno c'è un modo per farlo bisogna dividere tutti i dividenti del divisore per il coefficiente.

 quoziente = 3/2a + 7/4

                                        scomposizione a raccoglimento parziale

                                                   5ay - y - 5a² + 1

massimo comune divisore = 5a ( y - 1 ) - 1 ( y - 1 )

                                                            (y - 1 ) ( 5a - 1 )

                                           Scomposizione con la regola di Ruffini

 A ( Q ) 2a³ - a² - 5a - 2 ( non possiamo fare il cubo di un binomio )

cerco i divisori del termine noto in questo caso è  2 = ( +1 - 1 +2 - 2)

poi applico la regola del resto:

R ( -1 ) = 2 ( -1 )³ - 1 ( -1) - 5 ( - 1 ) - 2 = 0 (vedo che è divisibile per - 1)

A ( Q ) è divisibile per il binomi a + 1 ( state attenti perchè a -1 si cambia segno)

quindi diventa

A ( Q ) 2a³ - a² - 5a - 2 :  a + 1

applicando Ruffini avremo: