Numeri immaginari

 

Si definisce unità immaginaria il numero , non appartenente all'insieme dei numeri reali, che elevato al quadrato da come risultato -1 . Essa viene indicata con il simbolo j ( molte volte con i ) e per definizione si avrà ;

 

                                                          

                                                         i ² = -1  @  i ² = √ -1

 

 

 

  Numeri  complessi

 

Un qualsiasi numero di tipo a + ib costituisce un numero complesso ed è formato da una parte reale a e da una di tipo immaginaria jb . Il numero reale b è detto coefficiente della parte immaginaria.

Sono per esempio numeri complessi i seguenti:

 

                                                                     3 + j5    ;     4 + j6

 

 

 Forma algebrica , forma trigonometrica e rappresentazione dei numeri complessi

 

 

Un numero complesso è rappresentato in forma algebrica quando è espresso come  z=a+jb .

La rappresentazione di un numero complesso può essere fatta su un piano cartesiano o con precisione sul piano di Argand- Gauss avente come ascisse  l'asse dei numeri reali,e come ordinate quello dei numeri immaginari. Al numero complesso z corrisponde un punto P avente come ascissa A e ordinata B. Il punto P individua un vettore OP e quindi il numero complesso può essere associato a tale vettore appatto che si definiscano le seguenti caratteristiche:

 

 

 modulo del numero complesso , pari a quello del vettore, e dato da:

 

 

                                            ρ = √ a² + b²

 

 

 

argomento del numero complesso , pari all'angolo formato dal vettore con l'asse reale positivo  e misurato in senso antiorario ; esso e dato da:

 

 

                                  tg  ϑ = b/a = ϑ = arctg b/a

 

Noti i valori del modulo e del argomento si ricavano ora i valori di a e b con le seguenti formule :

 

 

                                 {  a =  ρ   cos ϑ          

                                 { b =   ρ    sen   ϑ

 

 

 

Sostiutuendo l'espressioni nella forma algebrica  e mettendo in evidenzia ρ si avrà:

 

 

                             z = ρ ( cos ϑ + i sen ϑ )

 

 

che sostituisce la forma trigonometrica del numero complesso nella quale vengono messi in evidenzia il modulo e l'argomento.

Spesso la formula precedente viene abbreviata con una forma , detta forma polare.

 

 

                                                         z = ρ Ð  ϑ

 

 

 

Forma Esponenziale

 

Esiste una formula matematica , detta formula di Eulero , che sancisce la seguente uguaglianza:

 

          cos ϑ + i sen ϑ = e( elevato alla potenza) iϑ

 

 

 

sotituendo si ottiene:

 

     z =  ρ e ( elevato alla potenza) iϑ

 

 

che rappresenta la forma esponenziale del numero complesso z.

 

 

 

          ρ =  questo simbolo e una lettera greca che si chiama rò       

 

         ϑ =     questa è un 'altra lettera greca che si chiama teta

 

         e =      indica una funzione esponenziale

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