La generica equazione di 2° grado che viene usata di frequente è la seguente:

                                                   ax² + bx + c = 0

questa equazione viene definita completa perchè compare un termine di 2°( ax²)

 di 1° ( bx ) e un termine noto ( c ).Invece in caso contrario viene definita incompleta quando tutti e tre i termini sono nulli.

                                        Casi particolari

1: Se a = 0 il mio polinomio diventa bx + c = 0 e quindi diventa un equazione del          

1° ,e trasportando c all'altro membro, e dividendo tutto per b avremo:

                                                   m = - c/b

2:Se b = 0 il nostro polinomio diventa del tipo  ax²+ c = 0 questa equazione e detta pura  ( perchè manca il termine di 1°) e la risolvo come un equazione di grado 1 , cioè applico la regola del trasporto e il secondo principio di equivalenza.

avremo:

                           √ x² = √- c / a

                         x = ± √- c / a                                     se il radicando è - non       

                                                                                                 esiste x appartenente ad R

                                 esercizio:

3x² - 1 = 0

3x² =1

x² = 1/3 = x ± √1/3 = ± 1/√1/3 = ± √1/3 /  √1/3 

3:Se c = 0

il nostro polinomio diventa del tipo ax² + bx = 0

questa equazione è detta spuria e la risolviamo utilizzando il metodo a fattor comune e quindi ponendo la  x in evidenzia.

avremo :

                  ax² + bx = 0

                  x ( ax + b )= 0                 soluzioni: x=0 e ax + b = 0

4: Se b =0 e c=0

il nostro polinomio diventa ax² = 0 questa equazione è detta monomia perchè presenta una soluzione doppia. Nella risoluzione avremo:

                  ax² =0

                  x² = 0/a                x =0

                  √x ²  = 0      

5:caso dove il polinomio si può scomporre esempio:

                x ² + 3x + 2 = 0

                ( x+2 ) ( x+1 ) = 0          soluzioni: x+2 =0 = x = -2

                                                                    x+1 = 0 = x = -1

questo per la legge dell'annullamento del prodotto  che dice:

affinchè un prodotto sia 0 è necessario e sufficiente che sia 1 almeno uno dei suoi fattori.

                                               Formula risolutiva

Questa formula viene usata in particolar modo nella risoluzione dell'equazioni di secondo grado.

Per poter capire come si usa la formula utilizziamo la generica equazione di secondo grado e quindi avremo:

                                   ax²  + bx + c= 0

a questo punto facciamo richiamo alla formula che è la seguente:

                                X 1,2 = - b ± √ b²- 4 ac / 2a

Nella formula la x non è presente sono tutti numeri. Sono presi dal coefficiente e dal termine noto.

Una particolarità e che alla b si cambia segno però non a casaccio ma seguendo il segno che a nell'equazione iniziale e quindi se a - diventerà + se a + diventerà - .

                             esempio:

          12x² + x - 6 = 0  

          utilizzo la formula:

X 1,2 = -1 ± √ 1² - 4 ( 12 ) ( - 6 ) / 2·(12) = -1  ±  √  1 + 288/24

 -1  ±  √ 289/24 = -1  ±  17 /24 =                -1 + 17 / 24 = 2/3

                                                                -1 - 17 /24 = 3/4

 soluzioni : 2/3 ; 3/4

Ritornando alla formula dobbiamo far caso al simbolo delta presente sotto radice, valutando i tre casi del simbolo e cioè quando è maggiore, quando è minore e quando è uguale a zero.

Δ = se è maggiore di zero ammette due soluzioni reali e distinte.

Δ = se è uguale a zero ammette due soluzioni reali e coencidenti.

Δ = se è minore di zero non ammette soluzioni nel campo dei numeri reali.

 Applichiamo la formula quando il coefficiente è diverso da 1.

                                      Formula risolutiva ridotta

Un'altra formula che viene usata nella risoluzione del'equazioni è la ridotta tra la prima e questa non ci sono tanti cambiamenti. La formula è la seguente:

                                                      X 1,2 = - b/2  √  Δ/4 / a

l'unico cambiamento e che quest'ultima si applica solo quando il termine di primo grado b è pari.

Per il calcolo del delta si utilizza la seguente formula:

                                                       Δ/4 = (b/2) ² - ac

se b non è pari applico la formula risolutiva.

se b è pari applico la formula ridotta.

Per far capire sarà meglio mostrarvi un esempio:

2 x ² + 16 x - 1 = 0                                          ( visto che 16 è un numero pari applico la formula ridotta.)

calcolo il delta:

Δ/4 = (16/2) ² - 2 ( -1 ) = 64                           16 / 2 = 8

                                                                        8 x 8 = 64

                                                                        64+2= 66

x 1,2 = - 16/2 ± √  66 /2 = - 8  ±  √  66 /2