Analisi reale
anno accademico: | 2013/2014 |
docenti: | Luca Fanelli, Lucio Boccardo |
corso di laurea: | Matematica - DM 270/04 (triennale), III anno |
tipo di attività formativa: | caratterizzante |
crediti formativi: | 9 (72 ore di lezione) |
raggruppamento disciplinare: | MAT/05 Analisi Matematica |
lingua di insegnamento: | italiano |
periodo: | I semestre (30/09/2013 - 17/01/2014) |
Aula ed orario di lezione
Frequenza: consigliata
Programma di massima del corso:
- Spazi metrici.
Proprieta`; esempi fondamentali. Teorema delle contrazioni, applicazione
alla risoluzione di alcune equazioni integrali. Proprieta` di completezza
di alcuni spazi metrici. Teorema del completamento.
- Spazi di Banach.
Proprieta` di compattezza della sfera unitaria. Spazi di successioni:
esempi e rappresentazione di alcuni duali.
- Compattezza in Co.
Teorema di Ascoli-Arzela`.
- Spazi di Hilbert.
Teorema della proiezione. Duale di uno spazio di Hilbert. Successioni
limitate in uno spazio di Hilbert separabile.
- Misura astratta.
Proprieta` generali. Esempi significativi. Funzioni misurabili.
Convergenza in misura. Cenni sulla costruzione della misura di Lebesgue in
Rn.
- Integrazione astratta.
Teoremi di convergenza rispetto alla convergenza quasi ovunque (Levi,
Fatou, Lebesgue, Lebesgue-Vitali). Caratterizzazione della convergenza in
misura. Assoluta continuita` dellintegrale. Teorema di Radon-Nikodym.
- Spazi Lp
Completezza. Cenni su densita` e separabilita`, Lp come completamento
di Co.
Diseguaglianze di Clarkson e teorema della proiezione in Lp. Teoremi di
rappresentazione del duale di Lpe L1; seconda dimostrazione, usando
il teorema di Radon-Nikodym.
Continuita` delloperatore di composizione fra spazi Lp.
Successioni limitate in Lp, p > 1.
Convergenza debole: definizione ed esempi significativi (Lemma di Riemann-
Lebesgue). Forma debole del teorema di Bolzano-Weierstass in Lp, p > 1.
Patologia delle successioni limitate in L1. Cenni su compattezza in
Lp.
Testo consigliato:
H. Royden, Real Analysis
Risultati esonero I° semestre 2013
Modalità di erogazione: convenzionale
Prerequisiti:
Calcolo I, Calcolo II, Analisi I, Algebra Lineare, Geometria Analitica.
Risultati di apprendimento - Conoscenze acquisite:
Il corso fornisce agli studenti le basi per lo studio della teoria delle distribuzioni, degli spazi di Sobolev, e delle equazioni ellittiche lineari.
Risultati di apprendimento - Competenze acquisite:
Gli studenti che abbiano superato l'esame avranno appreso gli strumenti fondamentali per lo studio avanzato delle soluzioni deboli per equazioni alle derivate parziali.
Studio personale: la percentuale prevista di studio personale sul totale dell'impegno richiesto è del 65%
Dati statistici relativi ai risultati degli esami