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I Cinque Numeri Più Importanti Della Matematica

E ora parleremo di un argomento per alcuni versi un po' più complicato del normale.
A dire il vero, di complicato non vi è praticamente nulla, se non tenere insieme tanti fili che si andranno a dipanare durante la trattazione.. Infatti qui si parlerà di 5 numeri tutti racchiusi in una equazione che li contempla e li lega saldamente l'uno a gli altri: "Equazione di Eulero":

e + 1 = 0

Dove c'è praticamente tutto conciso nello stretto necessario. Prima di vedere come si giunge a questo miracolo dei numeri, vediamo cosa sono questi: e, i, π, 1, 0.

 

Il numero: "0"

Un numero che racchiude in se stesso molte informazioni e che apre molte strade. Pochi sanno che lo "0" è un operatore, che ha il potere di rendere identicamente nulla qualsiasi cosa che le si avvicina per essere moltiplicata, che non influisce nelle dinamiche di somma o sottrazione (che sono poi la stessa cosa) e che genera molti problemi nell' analisi di una divisione o frazione quando va a dividere e quindi si pone al denominatore. Ma questo non si ferma al caso di una dimensione. Infatti lo "0" lo si trasporta anche in ambito vettoriale e matriciale, ed è essenziale (come anche l' 1 che vedremo dopo) perchè mantiene immutate le sue caratteristiche:
- un vettore:
(0 0 ... 0)
- una matrice:
(0 0)
(0 0)

Esiste sempre la forma di una configurazione, che in questo campo si chiama "zerone" che mantiene immutate le proprietà di somma e moltiplicazione. Per riassumere si ha:

  • numero * 0 = 0
  • numero + 0 = numero → numero - numero = 0 (che non è affatto banale, anzi è univoco)

Lo zero ha tantissime altre conseguenze, come il fatto che ogni cosa elevata a 0 da come risultato 1 (tranne 0 stesso):

  • numero 0 = 1 (qualsiasi sia il numero tranne per 0; 00 non si può dare una definizione nel campo reale se non attraverso il concetto di limite, se esiste)

Quindi il numero 0 non è certo un numero banale, anche se la sua soluzione in un sistema lineare lo è.. ma questa è un'altra storia. Comunque sia entra a pieno titolo tra i 5 numeri più importanti della matematica!

Il numero: "1"

Per il numero 1 si ha un discorso parallelo a quello del numero 0. anche "1" è un operatore, che ha il potere di rendere immutata qualsiasi cosa che le si avvicina per essere moltiplicata o divisa. Questo lo si trasporta anche in ambito vettoriale e matriciale:
(1 0)
(0 1)

Una espressione matriciale di questo tipo prende il nome di "identità" I e mantiene immutate le proprietà. Per riassumere si ha:

  • numero * 1 = numero
  • numero / 1 = numero

Anche il numero 1 ha tantissime altre conseguenze, come il fatto che ogni cosa elevata a 1 da come risultato il numero stesso:

  • numero 1 = numero

Quindi il numero 1 entra a pieno titolo tra i 5 numeri più importanti della matematica!

Il numero: "π"

Il π è una costante e un numero irrazionale, quindi non si esprime attraverso frazioni ed ha molteplici definizioni, diamone alcune:

  • E' il rapporto tra una circonforenza qualsiasi e il suo diametro (2 volte il raggio)
  • E' l' area di una circonferenza di raggio unitario
  • E' il primo numero positivo x per cui sin x = 0
  • E' il più piccolo numero x positivo che diviso 2 rende cos x = 0

Il valore della costante π=3.14.... essendo irrazionale, ha infiniti valori dopo la virgola, che è una condizione necessaria ma non sufficiente alla irrazionalità!
Senza entrare troppo nella matematica tecnica e nella trigonometria, per il nostro fine basta sapere che:

  • sin(0 π) = 0 ; cos(0 π) = 1
  • sin(π / 2) = 1 ; cos(π / 2) = 0
  • sin(π) = 0 ; cos(π) = -1
  • sin(3 * π / 2) = -1 ; cos(3 * π / 2) = 0

Il numero: "i"

Quando si parla del numero "i", si entra inevitabilmente nel campo dei numeri complessi.. Cosa sono?
Sono una classe artificiale che i matematici si sono inventati per risolvere alcuni, ma non tutti i problemi che nel campo reale non trovano soluzione. Questa definizione è molto vaga e molto poco lusinghiera per questa classe di numeri che ricoprono un ruolo fondamentare nella matematica.. Comunque sia volendo semplificare le cose, basti sapere che un numero complesso z è il risultato della composizione di due numeri reali x e y tali che z = x + iy. Dove la parte propriamente reale del numero complesso z: Re(z) = x mentre la parte immaginaria del numero complesso z: Im(z) = y.
Quindi il numero complesso è una estensione di un normale numero reale a cui siamo abituati aggiungendo una parte immaginaria caratterizzata proprio da "i". Ma "i" non è solo un simbolo, ma è propriamente un numero molto particolare, infatti:

i2 = -1

Come si può subito intuire, nel campo reale a cui siamo abituati non esiste un numero che elevato ad una potenza pari dia un risultato negativo, infatti se ad esempio avessimo il numero -1 o +1, una volta elevati a potenza pari danno sempre un risultato positivo 12 = 1 e -12 = 1! Quindi capirete subito che sotto tale circostanza, si riescono anche a calcolare le radici di un polinomio del tipo:

x2+1 = 0

che è propriamente il numero complesso z = i, dove è presente la sola parte immaginaria pari a 1 ed è 0 la parte reale!
Un numero complesso z = x + iy lo si può esprimere sotto varie forne, quella che a noi interessa è chiamata notazione modulo e fase: z = |z| e

  • |z| è il modulo, ossia la lunghezza del vettore congiungente il punto z
  • θ è la fase, ossia l'angolo sotteso al vettore con l'asse dei reali positivi

Facciamo un esempio numerico per descrivere il numero complesso z = 1 + i che può essere scritto come z = 21/2ei(π/4):

Come si può vedere il punto si può determinare univocamente sia come z = 1 + i, sia con coordinare (1,1) ma anche mediante la lunghezza del vettore in grigio e l'angolo sotteso che varia tra 0 a 2π.

Riassumendo, le sole cose che ci preme sapere è che:

  • Quando c'è "i", si è in presenza di un numero complesso z che si può scrivere come z = |z| e, dove |z| rappresenza la lunghezza del vettore che va dall'origine al punto z e θ è la fase, ossia l'angolo sotteso al vettore
  • i2=-1

Il numero: "e"

Quello di nepero è un numero che descriverlo in poche righe sarebbe uno smacco (come per tutti e 5 i numeri del resto), fortuna per noi che anche nell'ambito del logaritmo naturale sul quale ci si è concentrati qualche trattazione fa ne abbiamo ampiamente parlato!

Comunque sia è bene sapere che la costante "e" = 2.718... è un numero irrazionale (come anche π) e che quindi non si può esprimere come frazione di due numeri. Di fatto è questo che tra le altre cose la rende unica e dotata di infiniti valori oltre la virgola!
Nonostante sia stata proposta come la funzione inversa del logaritmo naturale gode di fatto di vita propria. Sarebbe più corretto dire che è il logaritmo ad essere definito su "e". Infatti "e" è ben definita da:

  • e = limn→∞(1+1/n)n
  • Serie 1/n! con n tra 0 e infinito

Le ripercussioni che ha in ambito matematico questa costante sono enormi, basti pensare che presa una funzione "ex", dalla definizione per mezzo del limite per la formula della derivata come limite del rapporto incrementale si ha una proprietà fondamentale: la derivata e l'integrale di "ex" sono proprio "ex".

Equazione di Eulero

Finalmente parliamo dell'argomento principe della discussione, ora che abbiamo quasi tutti gli strumenti necessari si può iniziare la trattazione.. Enunciamo l'ultimo attrezzo che ci serve ed è cardine per questa equazione che come si vede dalla presenza della i deve essere complessa

e + 1 = 0

Prendiamo come funzione nella variabile complessa z = x + iy la funzione:

f(z) = ez

Da come abbiamo descritto z si ha che sostituendo z = x + iy alla funzione f(z):

ez = ex + iy

Ma noi sappiamo bene che la somma di un esponenziale è pari alla moltiplicazione della base, e nel campo complesso questa proprietà si eredita, ossia:

ex + iy = ex eiy

E bene sapere che le funzioni trigonometriche siny e cosy si possono esprimere mediante le formule seguenti:

sin y = ( eiy-e-iy)/2i

cos y = ( eiy+e-iy)/2

e quindi giocando un po con i numeri si fa:

1) 2i siny = eiy-e-iy → eiy = 2i siny + e-iy
2) 2 cosy = eiy+e-iy → e-iy = 2 cosy - eiy

e sostituendo la e-iy della seconda nella prima si ha:

eiy = 2i siny + 2 cosy - eiy → 2 eiy = 2i siny + 2 cosy

da cui si ha:

eiy = cos y + i sin y

il modulo di eiy è sempre pari ad 1, infatti per il teorema di Pitagora:

|eiy| = |cos y + i sin y| = (sin2 y + cos2 y)1/2=1

Si ha dunque che tutto il modulo della funzione esponenziale f(z) è rappresentato dalla ex, visto che la eiy non fa altro che moltiplicare per 1, si può asserire senza errore che:

|f(z)| = |ez| = ex
(notare che ex è un numero reale)

e dato che per la rappresentazione in modulo e fase z = |z| esi ha che e corrisponde proprio a eiy il cui modulo deve essere = 1!

Ma avere un modulo pari a 1 significa accettare come risultati principali, ricordando che eiy = cos y + i sin y e concordi a quello che abbiamo scritto sulle funzioni trigonometriche:

  1. se y = π 0 → eiy = 1
  2. Se y = π(1/2) → eiy = i
  3. se y = π → eiy = -1
  4. se y = π(3/2) → eiy = -i

Se consideriamo la 3 abbiamo l' equazione, infatti: e = -1 e quindi, portando il numero -1 a sinistra si ha l'equazione di Eulero!

 

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