I Cinque Numeri Più Importanti Della Matematica

E ora parleremo di un argomento per alcuni versi un po' più complicato del normale.
A dire il vero, di complicato non vi è praticamente nulla, se non tenere insieme tanti fili che si andranno a dipanare durante la trattazione.. Infatti qui si parlerà di 5 numeri tutti racchiusi in una equazione che li contempla e li lega saldamente l'uno a gli altri: "Equazione di Eulero":

Dove c'è praticamente tutto conciso nello stretto necessario. Prima di vedere come si giunge a questo miracolo dei numeri, vediamo cosa sono questi: e, i, π, 1, 0.

Il numero: "0"

Un numero che racchiude in se stesso molte informazioni e che apre molte strade. Pochi sanno che lo "0" è un operatore, che ha il potere di rendere identicamente nulla qualsiasi cosa che le si avvicina per essere moltiplicata, che non influisce nelle dinamiche di somma o sottrazione (che sono poi la stessa cosa) e che genera molti problemi nell' analisi di una divisione o frazione quando va a dividere e quindi si pone al denominatore. Ma questo non si ferma al caso di una dimensione. Infatti lo "0" lo si trasporta anche in ambito vettoriale e matriciale, ed è essenziale (come anche l' 1 che vedremo dopo) perchè mantiene immutate le sue caratteristiche:
- un vettore:
(0 0 ... 0)
- una matrice:
(0 0)
(0 0)

Esiste sempre la forma di una configurazione, che in questo campo si chiama "zerone" che mantiene immutate le proprietà di somma e moltiplicazione. Per riassumere si ha:

• numero * 0 = 0
• numero + 0 = numero → numero - numero = 0 (che non è affatto banale, anzi è univoco)

Lo zero ha tantissime altre conseguenze, come il fatto che ogni cosa elevata a 0 da come risultato 1 (tranne 0 stesso):

• numero ⁰ = 1 (qualsiasi sia il numero tranne per 0; 0⁰ non si può dare una definizione nel campo reale se non attraverso il concetto di limite, se esiste)

Quindi il numero 0 non è certo un numero banale, anche se la sua soluzione in un sistema lineare lo è.. ma questa è un'altra storia. Comunque sia entra a pieno titolo tra i 5 numeri più importanti della matematica!

Il numero: "1"

Per il numero 1 si ha un discorso parallelo a quello del numero 0. anche "1" è un operatore, che ha il potere di rendere immutata qualsiasi cosa che le si avvicina per essere moltiplicata o divisa. Questo lo si trasporta anche in ambito vettoriale e matriciale:
(1 0)
(0 1)

Una espressione matriciale di questo tipo prende il nome di "identità" I e mantiene immutate le proprietà. Per riassumere si ha:

• numero * 1 = numero
• numero / 1 = numero

Anche il numero 1 ha tantissime altre conseguenze, come il fatto che ogni cosa elevata a 1 da come risultato il numero stesso:

• numero ¹ = numero

Quindi il numero 1 entra a pieno titolo tra i 5 numeri più importanti della matematica!

Il numero: "π"

Il π è una costante e un numero irrazionale, quindi non si esprime attraverso frazioni ed ha molteplici definizioni, diamone alcune:

• E' il rapporto tra una circonforenza qualsiasi e il suo diametro (2 volte il raggio)
• E' l' area di una circonferenza di raggio unitario
• E' il primo numero positivo x per cui sin x = 0
• E' il più piccolo numero x positivo che diviso 2 rende cos x = 0

Il valore della costante π=3.14.... essendo irrazionale, ha infiniti valori dopo la virgola, che è una condizione necessaria ma non sufficiente alla irrazionalità!
Senza entrare troppo nella matematica tecnica e nella trigonometria, per il nostro fine basta sapere che:

• sin(0 π) = 0 ; cos(0 π) = 1
• sin(π / 2) = 1 ; cos(π / 2) = 0
• sin(π) = 0 ; cos(π) = -1
• sin(3 * π / 2) = -1 ; cos(3 * π / 2) = 0

Il numero: "i"

Quando si parla del numero "i", si entra inevitabilmente nel campo dei numeri complessi.. Cosa sono?
Sono una classe artificiale che i matematici si sono inventati per risolvere alcuni, ma non tutti i problemi che nel campo reale non trovano soluzione. Questa definizione è molto vaga e molto poco lusinghiera per questa classe di numeri che ricoprono un ruolo fondamentare nella matematica.. Comunque sia volendo semplificare le cose, basti sapere che un numero complesso z è il risultato della composizione di due numeri reali x e y tali che z = x + iy. Dove la parte propriamente reale del numero complesso z: Re(z) = x mentre la parte immaginaria del numero complesso z: Im(z) = y.
Quindi il numero complesso è una estensione di un normale numero reale a cui siamo abituati aggiungendo una parte immaginaria caratterizzata proprio da "i". Ma "i" non è solo un simbolo, ma è propriamente un numero molto particolare, infatti:

i² = -1

Come si può subito intuire, nel campo reale a cui siamo abituati non esiste un numero che elevato ad una potenza pari dia un risultato negativo, infatti se ad esempio avessimo il numero -1 o +1, una volta elevati a potenza pari danno sempre un risultato positivo 1² = 1 e -1² = 1! Quindi capirete subito che sotto tale circostanza, si riescono anche a calcolare le radici di un polinomio del tipo:

x²+1 = 0

che è propriamente il numero complesso z = i, dove è presente la sola parte immaginaria pari a 1 ed è 0 la parte reale!
Un numero complesso z = x + iy lo si può esprimere sotto varie forne, quella che a noi interessa è chiamata notazione modulo e fase: z = |z| e^iθ

• |z| è il modulo, ossia la lunghezza del vettore congiungente il punto z
• θ è la fase, ossia l'angolo sotteso al vettore con l'asse dei reali positivi
  

Facciamo un esempio numerico per descrivere il numero complesso z = 1 + i che può essere scritto come z = 2^1/2e^i(π/4):

Come si può vedere il punto si può determinare univocamente sia come z = 1 + i, sia con coordinare (1,1) ma anche mediante la lunghezza del vettore in grigio e l'angolo sotteso che varia tra 0 a 2π.

Riassumendo, le sole cose che ci preme sapere è che:

• Quando c'è "i", si è in presenza di un numero complesso z che si può scrivere come z = |z| e^iθ, dove |z| rappresenza la lunghezza del vettore che va dall'origine al punto z e θ è la fase, ossia l'angolo sotteso al vettore
• i²=-1

Il numero: "e"

Quello di nepero è un numero che descriverlo in poche righe sarebbe uno smacco (come per tutti e 5 i numeri del resto), fortuna per noi che anche nell'ambito del logaritmo naturale sul quale ci si è concentrati qualche trattazione fa ne abbiamo ampiamente parlato!

Comunque sia è bene sapere che la costante "e" = 2.718... è un numero irrazionale (come anche π) e che quindi non si può esprimere come frazione di due numeri. Di fatto è questo che tra le altre cose la rende unica e dotata di infiniti valori oltre la virgola!
Nonostante sia stata proposta come la funzione inversa del logaritmo naturale gode di fatto di vita propria. Sarebbe più corretto dire che è il logaritmo ad essere definito su "e". Infatti "e" è ben definita da:

• e = lim_n→∞(1+1/n)ⁿ
• Serie 1/n! con n tra 0 e infinito

Le ripercussioni che ha in ambito matematico questa costante sono enormi, basti pensare che presa una funzione "e^x", dalla definizione per mezzo del limite per la formula della derivata come limite del rapporto incrementale si ha una proprietà fondamentale: la derivata e l'integrale di "e^x" sono proprio "e^x".

Finalmente parliamo dell'argomento principe della discussione, ora che abbiamo quasi tutti gli strumenti necessari si può iniziare la trattazione.. Enunciamo l'ultimo attrezzo che ci serve ed è cardine per questa equazione che come si vede dalla presenza della i deve essere complessa

Prendiamo come funzione nella variabile complessa z = x + iy la funzione:

f(z) = e^z

Da come abbiamo descritto z si ha che sostituendo z = x + iy alla funzione f(z):

e^z = e^{x + iy}

Ma noi sappiamo bene che la somma di un esponenziale è pari alla moltiplicazione della base, e nel campo complesso questa proprietà si eredita, ossia:

e^{x + iy} = e^x e^iy

E bene sapere che le funzioni trigonometriche siny e cosy si possono esprimere mediante le formule seguenti:

sin y = ( e^iy-e^-iy)/2i

cos y = ( e^iy+e^-iy)/2

e quindi giocando un po con i numeri si fa:

1) 2i siny = e^iy-e^-iy → e^iy = 2i siny + e^-iy
2) 2 cosy = e^iy+e^-iy → e^-iy = 2 cosy - e^iy

e sostituendo la e^-iy della seconda nella prima si ha:

e^iy = 2i siny + 2 cosy - e^iy → 2 e^iy = 2i siny + 2 cosy

da cui si ha:

e^iy = cos y + i sin y

il modulo di e^iy è sempre pari ad 1, infatti per il teorema di Pitagora:

|e^iy| = |cos y + i sin y| = (sin² y + cos² y)^1/2=1

Si ha dunque che tutto il modulo della funzione esponenziale f(z) è rappresentato dalla e^x, visto che la e^iy non fa altro che moltiplicare per 1, si può asserire senza errore che:

|f(z)| = |e^z| = e^x
(notare che e^x è un numero reale)

e dato che per la rappresentazione in modulo e fase z = |z| e^iθ si ha che e^iθ corrisponde proprio a e^iy il cui modulo deve essere = 1!

Ma avere un modulo pari a 1 significa accettare come risultati principali, ricordando che e^iy = cos y + i sin y e concordi a quello che abbiamo scritto sulle funzioni trigonometriche:

1. se y = π 0 → e^iy = 1
2. Se y = π(1/2) → e^iy = i
3. se y = π → e^iy = -1
4. se y = π(3/2) → e^iy = -i

Se consideriamo la 3 abbiamo l' equazione, infatti: e^iπ = -1 e quindi, portando il numero -1 a sinistra si ha l'equazione di Eulero!

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