Proprietà dello spazio-tempo

Nel capitolo precedente abbiamo ricavato la relazione esistente tra il tensore metrico dell'etere e quello dell'universo fisico (riguardo alla simbologia, vedi La metrica di Minkowski e Corrispondenza tra etere e universo fisico). Ora consideriamo cosa succede se si cambia sistema di riferimento mediante una rotazione degli assi, oppure passando da un sistema di riferimento inerziale ad un altro in movimento rispetto al primo (i calcoli non verranno riportati). A differenza dello spazio-tempo fisico, l'etere possiede un sistema di riferimento privilegiato, caratterizzato da un volume, o ipersuperficie, di tipo spazio Σ ('sigma') (è preferibile chiamarlo ipersuperficie perché la sua dimensione è di un'unità inferiore di quella dello spazio-tempo fisico), la quale si muove costantemente nella direzione dell'asse positivo del tempo. Ciò definisce in ciascun punto dello spazio-tempo un'unica direzione temporale. Chiamiamo fondamentale qualsiasi sistema di riferimento con quella direzione del tempo. Perciò, nell'etere il concetto di contemporaneità è privo di ambiguità e nel sistema fondamentale i tensori hanno i seguenti valori:

(12.1): e_μν = 1, if μ = ν, e 0 altrimenti,

(12.2): g₀₀ = 1, g_ii = –1 per i = 1, 2, 3,

e zero in tutti gli altri casi

(alternativamente, si possono prendere i segni opposti).

Le equazioni (12.1) e (12.2) definiscono univocamente il sistema fondamentale in ciascun punto dello spazio-tempo a meno di rotazioni puramente spaziali. Se nel sistema fondamentale ruotiamo gli assi spaziali, entrambi i tensori metrici e_μν, g_μν ed il rapporto a (vedi Corrispondenza tra etere e universo fisico) rimangono inalterati. Questo significa che nel sistema fondamentale sia l'etere che l'universo fisico non possiedono alcun asse spaziale privilegiato, cioè possiedono entrambi la proprietà dell'isotropia.

Consideriamo adesso un sistema di riferimento in moto rispetto al sistema fondamentale. Le trasformazioni di Lorentz non alterano il tensore metrico fisico η_μν, perché esso possiede questa proprietà per definizione. Ciò non è vero nel caso del tensore metrico dell'etere e_μν, perché esso è invariante solo rispetto alle rotazioni ordinarie. Quando si applica una trasformazione di Lorentz, le x^μ si trasformano come le y^μ, essendo il fattore a uno scalare. Di conseguenza, sia la coordinata temporale che quella spaziale nella direzione del tempo appaiono allungate. Ciò non significa che l'etere venga effettivamente dilatato. Significa semplicemente che le nuove unità non rappresentano più fedelmente le lunghezze nell'etere. Tuttavia il tensore metrico dell'etere si prende cura dello stiramento. Infatti, i calcoli mostrano che in un sistema di riferimento che si muove con velocità v lungo l'asse x¹, le componenti del tensore metrico dell'etere divengono (ignoriamo le componenti che rimangono invariate):

(12.3) e₀₀' = e₁₁' = ( 1 + v² / c² ) · γ²,

e₀₁' = e₁₀' = – ( 2 · v / c ) · γ².

Diversamente dal sistema fondamentale, in un sistema in movimento le componenti e₀₁' ed e₁₀' sono diverse da zero. Questo avviene per il fatto che nel nuovo riferimento gli assi non sono più ortogonali. Un altro punto interessante è il fatto che e₀₀' ed e₁₁' non sono più uguali all'unità, il che significa che in questo sistema di riferimento le unità lungo le nuove direzioni non sono quelle naturali. Da questi fatti si comprende che si potessero determinare mediante esperimenti i valori delle e_μν', allora si potrebbe determinare anche la velocità del sistema rispetto all'etere.

Si manifesta l'anisotropia nell'universo fisico? No, perché il tensore metrico di Minkowski è invariante rispetto alle trasformazioni di Lorentz. Tutte le leggi della fisica che sono invarianti rispetto alle trasformazioni di Lorentz non possono rivelare l'anisotropia. Questo fatto fu chiaramente dimostrato dall'esperimento di Michelson e Morley (vedi l'Introduzione alla teoria della relatività). Perciò tutti i fenomeni fisici che ubbidiscono al principio della relatività ristretta manifestano l'isotropia in tutti i sistemi di riferimento inerziali. La sola legge fisica che potrebbe possibilmente rivelare l'anisotropia della spazio-tempo è quella della gravitazione, poiché non è mai stata dimostrata sperimentalmente di essere invariante rispetto alle trasformazioni di Lorentz. A suggerire la sua possibile non-invarianza è il fatto che sembra che la gravitazione non operi mediante onde, come l'elettromagnetismo, ma mediante deformazioni dell'etere. Quindi, per ciò che riguarda la gravitazione le distanze potrebbero non dipendere dalla velocità, ma essere intrinseche dell'etere. Stando così le cose dovrebbe essere possibile determinare i valori delle componenti del tensore metrico dell'etere e, da essi, la velocità della terra rispetto all'etere. Come? Ecco la descrizione di un possibile modo.

Consideriamo un pianeta in orbita attorno al sole. Poiché le distanze eteree non sono influenzate da un cambiamento di riferimento, il suo moto orbitale è in armonia con le leggi fisiche solamente nel sistema fondamentale. Infatti, nel sistema di riferimento fisico le lunghezze appaiono contratte nella direzione del moto e l'orbita appare un poco schiacciata e non in perfetto accordo con le leggi del moto. Nello stesso tempo, la velocità del pianeta subisce delle mutazioni lungo l'orbita per il fatto che il piano di contemporaneità fisico è inclinato rispetto a quello del sistema fondamentale (vedi Contemporaneità in relatività) ed il pianeta impiega minor tempo a muoversi nella direzione del moto dell'universo fisico che in quello opposto, con la variazione dipendente dalla velocità dell'universo fisico rispetto all'etere. Misurando queste variazioni, dell'orbita o delle velocità, si possono calcolare le componenti del tensore metrico dell'etere, e da queste, in base alle equazioni (12.3), ricavare la velocità della terra rispetto all'etere. Una domanda: perché non si sono mai osservate queste discrepanze? La ragione è che sono molto piccole. Tanto per fare un esempio, se la terra si muovesse ad una velocità di 100.000 km/h rispetto all'etere, la deviazione delle componenti del tensore metrico dell'etere sarebbe dell'ordine di 10⁻⁸. Tali piccole deviazioni sono difficili da osservare.

Space-time properties

In the previous chapter we derived the relationship between the ether- and the physical metric tensors (for the use of the symbols, examine The Minkowski metric and Correspondence between the ether and the physical universe). Now let's examine what happens if we change system of reference, by rotating the axes or by moving from one inertial system of reference to another one (the calculations will be omitted). Differently from the physical space-time, the ether possesses a privileged system of reference characterized by a space-like volume, or hyper-surface, Σ ('sigma') (we call it hyper-surface because its dimension is one less than that of the physical space-time) that constantly moves along the positive time direction. This defines at each point of space-time a unique time direction. We call fundamental any frame with that time direction. Hence, in the ether the concept of contemporaneity is unambiguous and in the fundamental frame the metric tensors have the following values:

(12.1): e_μν = 1, if μ = ν, and 0 otherwise,

(12.2): g₀₀ = 1, g_ii = –1 for i = 1, 2, 3,

and zero in all the other cases

(alternatively, one can equally well take the opposite signs).

On the other hand, equations (12.1) and (12.2) uniquely define the fundamental frame at each point of space-time up to purely spatial rotations. If we rotate the spatial axes in the fundamental frame, both the metric tensors e_μν, g_μν and the ratio a (see Correspondence between the ether and the physical universe) remain unchanged. This means that in the fundamental frame both the ether and the physical universe don't possess any privileged spatial axis, i.e., they share the property of isotropy.

Now, consider a system of reference that is moving with respect to the fundamental frame. Lorentz transformations don't alter the physical metric tensor η_μν, because it possesses this property by definition. This is not true in the case of the ether metric tensor e_μν, because it's invariant only under ordinary rotations. When a Lorentz transformation is applied, the x^μ transform like the y^μ, since the factor a is a scalar. Consequently, both the time coordinate and the spatial coordinate in the direction of motion appear stretched. This doesn't mean that the ether gets effectively stretched. It simply means that the new units don't faithfully represent the ether lengths. However, the ether metric tensor takes care of the stretching. In fact, a calculation shows that in a system of reference that moves with velocity v along the x¹ axis the components of the ether metric tensor become (we ignore the components that remain unchanged):

(12.3) e₀₀' = e₁₁' = ( 1 + v² / c² ) · γ²,

e₀₁' = e₁₀' = – ( 2 · v / c ) · γ².

Unlike the fundamental frame, in a moving frame the components e₀₁' and e₁₀' are different from zero. This is because in the new frame the axes are no longer orthogonal. Another interesting point is the fact that e₀₀' and e₁₁' are no longer equal to unity, which means that in this frame the units along the new directions aren't the natural ones. From these facts we understand that if it were possible to determine through experiments the values of the e_μνs, then also the velocity of the system with respect to the ether could be derived.

Does anisotropy manifest itself in the physical world? No, because the Minkowski metric tensor is invariant under Lorentz transformations. All laws of physics that are invariant under Lorentz transformations cannot detect anisotropy. This fact was clearly proven by the Michelson and Morley experiment (see Introduction to the theory of relativity). Therefore, all physical phenomena that obey to the principle of special relativity manifest isotropy in any inertial frame. The only possible law that might reveal the anisotropy of space-time is the gravitational one, since it has never been experimentally proved to be invariant under Lorentz transformations. To suggest its possible non-invariance is the fact that gravitation does not seem to operate through waves like electromagnetism, but through overall deformations of the ether. Hence, for what concerns gravitation, distances might not be velocity dependent, but intrinsic of the ether. Being this the case, then it should be possible to determine the values of the components of the ether metric tensor, and from them the velocity of the earth with respect to the ether. How? Here's a possible way.

Consider a planet orbiting the sun. Since the ether distances are not affected by a change of reference, its orbit is in agreement with the laws of motion only in the fundamental frame. In fact, in the physical reference the lengths are contracted in the direction of motion and the orbit appears a little flattened and not in perfect agreement with the laws of motion. At the same time, the velocity of the planet appears to vary along the orbit for the reason that, since the physical plane of contemporaneity is bent with respect to that of the fundamental frame (see Contemporaneity in relativity), it takes less time for the cosmic object to move in the direction of motion of the physical universe than in the opposite direction, the variation depending on the velocity of the physical universe with respect to the ether. By measuring these variations, either of the orbit or of the velocity, one is able to calculate the components of the ether metric tensor, and from them, according to equations (12.3), the velocity of the earth with respect to the ether. One question one might ask: why don't these discrepancies have been detected so far? The reason is that they are very small. As an example, if the earth moved with respect to the ether at 100,000 km/h, the deviation of the components of the ether metric tensor would be of the order of 10⁻⁸. Such small deviations are hard to detect.