L'enigma della corona solare

Il sole è un'enorme sfera gassosa nel cielo che getta fuori una gran quantità di radiazione benefica per la terra. La sorgente di energia che gli permette di risplendere per miliardi di anni si trova nella zona centrale, dove pressioni e temperature tremende danno origine a reazioni termonucleari altamente efficienti. Il calore così prodotto viaggia verso la superficie e infine viene infine emesso sotto forma di radiazione. Dai molti milioni di gradi al centro, la temperatura scende a circa 6.000°C sulla superficie. Là il gas è così rarefatto che la radiazione emessa può sfuggire e disperdersi nel cosmo. A quel punto, invece di continuare ad abbassarsi in accordo con le leggi della termodinamica, la temperatura del gas aumenta e raggiunge valori dell'ordine di milioni di gradi centigradi. Perché un tale comportamento anomalo?

Un indizio interessante viene dal fatto che un comportamento simile avviene ogni qualvolta la densità di un gas diventa molto bassa. Infatti, anche nelle atmosfere dei pianeti la temperatura aumenta a partire da una certa altezza. Per esempio, dopo essere scesa a decine di gradi sotto zero, a partire da circa 85 km sopra la superficie della terra la temperatura del gas rarefatto aumenta e raggiunge temperature dell'ordine di diverse centinaia di gradi centigradi. Tuttavia, ciò non significa che un satellite che si muova in quella zona si debba riscaldare in uguale misura, per il seguente motivo.

In termini fisici, temperatura significa energia. Dire che un gas possiede una temperatura T significa che a ciascun grado di libertà di ogni particella di gas è associata in media un'energia E = ½ · k · T, dove k è la costante di Boltzmann. Se per esempio consideriamo il grado di libertà costituito dalla capacità delle particelle di muoversi lungo una direzione specifica, lungo tale direzione l'energia media posseduta dalle particelle è ½ · k · T. Più alta è la temperatura e maggiore è l'energia cinetica media. Essendo molto rarefatto il gas attraverso il quale si muove il satellite, anche il numero di collisioni per unità di superficie e unità di tempo è molto basso, e l'energia totale trasmessa dal gas è trascurabile. In altre parole, anche se i singoli costituenti del gas sono molto caldi, o energetici, a motivo delle poche collisioni un gas di densità molto bassa non può trasmettere molto calore, o energia, ad un corpo immerso in esso. Perciò i satelliti viaggiano attraverso un mezzo che si manifesta come se fosse freddo anche se l'energia media delle particelle che lo costituiscono è piuttosto alta.

Ora la domanda è: è il satellite in equilibrio termico con il gas che lo circonda? A primo avviso si direbbe di no, perché satellite e gas possiedono temperature diverse. Tuttavia, come il tempo passa, le loro temperature non si adeguano. Come può essere una tale cosa? Perché non viene raggiunta con il tempo una temperatura di equilibrio comune? Il fatto è che la radiazione che il satellite emette dipende solo dalla propria temperatura. D'altra parte, come abbiamo visto, il numero di collisioni che subisce da parte delle particelle di gas per unità di tempo, le quali potrebbero alterare la sua temperatura, è molto basso. Di conseguenza la temperatura del satellite non può essere quella che corrisponde al gas mediante la formula E = ½ · k · T, ma molto inferiore, perché essa dipende prevalentemente dall'equilibrio tra la quantità di radiazione che il satellite riceve dal sole e quella che irradia. Nel limite in cui pochissime particelle colpiscono il satellite, sebbene la temperatura che corrisponde alla loro energia media sia molto alta, il satellite non si riscalda apprezzabilmente.

Ma, nuovamente, il problema è: perché la temperatura del gas molto rarefatto è più alta di quella di qualsiasi materiale che si muove attraverso di esso? Ci sono due aspetti da considerare per poter comprendere questo fenomeno: la bassa densità del gas e il fatto che in tali circostanze il calore è trasmesso principalmente mediante radiazione anziché per contatto o convezione. In condizioni di equilibrio la temperatura del gas è determinata dall'equilibrio tra l'energia che esso riceve dalla radiazione e quella che perde nella stessa maniera. Il punto è che l'energia che il gas riceve non dipende dalla sua densità, per il fatto che le particelle cariche possono interagire con i fotoni indipendentemente dal fatto che ci siano altre particelle nelle vicinanze, mentre l'energia che esse emettono dipende da ciò. Infatti, riguardo all'emissione, la situazione è la seguente.

Essendo il gas molto rarefatto, ciascuna particella interagisce molto di rado con le altre particelle, e deve percorrere delle lunghe distanze prima di venire a breve distanza con un'altra particella e interagire. Durante quei lunghi tragitti essa non può irradiare (per semplicità non si considerano qui atomi e molecole, i quali possono emettere radiazione se si trovano in uno stato eccitato, ma solo particelle elementari). Per quale motivo una particella deve interagire per emettere della radiazione? Immaginiamo di stabilire il sistema di riferimento su una particella. Allora la sua energia non è altro che quella a riposo, cioè la sua massa moltiplicata per il quadrato della velocità della luce. Di conseguenza, per poter irradiare e perdere energia, la particella dovrebbe ridurre la propria massa a riposo, ma ciò è impossibile. Perciò le particelle possono emettere radiazione solo quando interagiscono con altre particelle, perché in tale caso ne vengono coinvolte non sono solo le energie a riposo, o masse, ma anche le loro energie cinetiche, ed è una parte di tali energie viene trasformata in radiazione.

Questo ragionamento mostra che quando la densità di un gas diventa molto bassa, come quella della corona solare, poiché lo scambio di calore avviene principalmente mediante la radiazione, in media il bilancio energetico è tale che la temperatura corrispondente, dato dalla formula T = 2 · E / k, può essere molto più alta di quella che dovrebbe essere se l'equilibrio termico avvenisse per contatto o convezione, come tra corpi solidi o relativamente densi. Ciononostante, il secondo principio della termodinamica non è violato, poiché la più alta temperatura del gas non può essere usata per riscaldare e aumentare la temperatura della sorgente di calore, perché l'energia radiativa che il gas emette a quella temperatura maggiorata corrisponde esattamente a quella che riceve. La maggiore temperatura in realtà non è altro che una conseguenza del richiesto equilibrio termodinamico. Nel caso della corona solare, anche se la sua temperatura è dell'ordine dei milioni di gradi, un oggetto solido che vi passi attraverso sarebbe in equilibrio termodinamico pur possedendo una temperatura molto inferiore, più bassa pure di quella sulla superficie del sole, in quanto la sua temperatura dipenderebbe prevalentemente dalla distanza dalla superficie, non dalla temperatura del gas.

Che cosa c'è di errato nella termodinamica ordinaria? Chiaramente, in situazioni estreme come quelle che si riscontrano sulle parti superiori delle atmosfere dei pianeti e sulla corona del sole, la legge E = ½ · k · T semplicemente non rappresenta la relazione che esiste tra l'energia media e la temperatura di equilibrio di un corpo solido. Perciò sarebbe appropriato introdurre un nuovo simbolo per essa, come T_r, e chiamarla temperatura radiativa, poiché il suo valore in condizione di equilibrio è determinato solo dalla radiazione in condizioni di sbilancio tra ricezione ed emissione.

Questo fenomeno di surriscaldamento di un gas si verifica ogni volta che si parla di gas estremamente rarefatto e occupante un volume molto esteso, in modo che non ci sia scambio di calore per contatto con le pareti che lo contiene. In mancanza di un appellativo migliore, in futuro ci si riferirà ad esso come all'effetto Trevisan.

The coronal puzzle

The sun is an enormous gaseous sphere in the sky that spews out a lot of radiation beneficial to earth. The source of energy that permits it to continue to glow for billions of years lies in its core, where tremendous pressures and temperatures give rise to highly efficient thermonuclear reactions. The heat thus produced travels toward the surface and is eventually radiated away. From several millions degrees Celsius at the center, the temperature drops to about 6,000° at the surface. The gas there is so tenuous that the radiation emitted can escape and spread in the cosmos. At that point, instead of continuing to decrease according to the laws of thermodynamics, the gas temperature increases and reaches values in the range of millions of degrees Celsius. Why this anomalous behavior?

An interesting clue comes from the fact that a similar behavior occurs whenever a gas density becomes very low. In fact, also in the planet atmospheres the temperature increases from some altitude up. For example, after falling to tens of degrees Celsius below zero, starting at about 85 km above the surface of the earth the temperature of the rarefied gas increases and reaches temperatures of the order of several hundred degrees Celsius. However, this does not mean that a satellite moving through it gets correspondingly heated, for the following reason.

In physical terms, temperature means energy. To say that a gas possesses a temperature T means that to each degree of freedom of any gas particle is associated in the average the energy E = ½ · k · T, where k is the Boltzmann's constant. If for instance we consider the degree of freedom constituted by the ability of particles to move along a specified direction, then along that direction the average energy particles possess is ½ · k · T. The higher the temperature, the higher the mean energy. Being very rarefied the gas through which the earth satellites move, then also the number of collisions per unit of surface and unit of time is very low, and the overall energy transmitted by the gas is negligible. In other words, even if its constituents are hot, or energetic, due to the low number of collisions a gas of very low density cannot transmit much heat, or energy, to a body immersed in it. Therefore satellites travel through a medium that manifests itself as if it were cold, even though the average energy of its constituent particles is quite high.

Now the question is: is the satellite in thermal equilibrium with the gas that surrounds it? At first glance one would answer no, because satellite and gas have different temperatures. Nonetheless, as time passes by, their temperatures do not change. How can it be possible? Why is it not reached with time a common equilibrium temperature? The fact is that the radiation the satellite emits depends only on its temperature. On the other hand, as we have seen, the number of collisions it suffers from the gas particles per time unit, which might alter its temperature, is very low. Hence, the satellite temperature cannot be the one that corresponds to the gas through the formula E = ½ · k · T, but much lower, because it prevalently depends on the balance between the amount of radiation the satellite receives from the sun and the radiation the satellite emits. In the limit of very few particles hitting the satellite, although the temperature that corresponds to the average particle energy is very high, the satellite does not heat much.

But again the problem is: why is the temperature of a very rarefied gas higher than that of any other material that moves through it? There are two aspects to be considered in order to understand this phenomenon: the low gas density and the fact that in such circumstances heat is transmitted mainly through radiation, instead of contact or convection. At equilibrium the gas temperature is determined by the balance between the energy it receives through radiation and the energy it loses by the same means. The point is that the energy the gas receives does not depend on its density, for the fact that charged particles can interact with photons independently from the fact that in their vicinity there are other particles, while the energy they emit does depend on it. In fact, regarding the emission, the situation is the following.

Being the gas very rarefied, each individual particle very rarely encounters another particle, and must travel long distances before coming at close range with another one and interact. During the long paths it travels, it cannot radiate (for simplicity we do not consider here atoms or molecules, which may radiate if they are in an exited state, but just elementary particles). Why does a particle need to interact in order to radiate? Suppose we establish a system of reference on the particle itself. Then its energy is just its rest energy, i.e., its mass times the square of the speed of light. Consequently, in order to radiate and lose energy, the particle should reduce its rest mass, but that is impossible. Hence, particles radiate only when they interact with other particles, because what gets involved in that case are not just their rest energies, or masses, but their relative kinetic energies as well, and it is part of these energies that may be lost through radiation.

This reasoning shows that when the density of a gas gets very low, like that of the solar corona, since the exchange of heat with the surroundings occurs mainly through radiation, in the average the balance of energy is such that the corresponding temperature given by the formula T = 2 · E / k may be much higher than it should be if thermal equilibrium were established through contact or convection, as happens between solid, or fairly dense bodies. Nonetheless, the second principle of thermodynamics is not violated, since the higher gas temperature cannot be used to heat its source and increase its temperature, because the radiative energy the gas emits corresponds exactly to the one it receives. The higher gas temperature in reality is nothing but a consequence of the required thermodynamical equilibrium. In the case of the solar corona, even if its temperature is in the range of the millions of degrees Celsius, a solid object passing through it would be in thermodynamical equilibrium, while having a temperature well lower than those of the gas and of the sun's surface, and its temperature would mainly depend on its distance from the surface of the sun, rather than the gas temperature.

What is wrong then with ordinary thermodynamics? Clearly, in extremes situations like those found on the upper atmospheres of the planets and on the sun's corona, the law E = ½ · k · T doesn't represent the relationship between the average energy and the equilibrium temperature of a solid body, and it would be appropriate to introduce a new symbol for it, like T_r, and call it radiative temperature, since its equilibrium value is determined by radiation under unbalanced conditions between reception and emission.

The above described phenomenon occurs whenever a gas becomes extremely rarefied and occupies a very large volume, so that no heat exchange takes place by contact. Lacking a better name, in the future references I'll call it the Trevisan effect.