La teoria della relatività

La trasformazione di Lorentz fu introdotta affinché le leggi dell'elettromagnetismo mantenessero la stessa forma in qualsiasi sistema di coordinate inerziali, indipendentemente dalla velocità dell'osservatore. Di conseguenza per qualche tempo ci furono due leggi di trasformazione per passare da un sistema di riferimento ad un altro, una per l'elettromagnetismo e un'altra per tutti gli altri fenomeni fisici. Poi nel 1905 per la prima volta Einstein unificò le leggi di trasformazione affermando che “tutte le leggi della fisica devono essere invarianti rispetto alle trasformazioni di Lorentz.” Quest'affermazione sostituì il principio relativistico di Newton, il quale afferma: “I moti dei corpi inclusi in un dato spazio sono gli stessi tra di loro, sia che lo spazio sia a riposo o che si muova in avanti uniformemente e in linea retta.”

Quali furono le implicazioni di questa innovazione? Consideriamo la seconda legge di Newton:

(8.1): f = m · a.

L'equazione vettoriale afferma che una forza f applicata ad un corpo di massa m produce un'accelerazione a inversamente proporzionale alla massa del corpo (più un corpo è pesante e maggiore è la sua inerzia). Come si comporta l'equazione (8.1) quando si cambia sistema di riferimento? Secondo il principio di relatività di Einstein, i membri dell'equazione devono trasformarsi in armonia con la legge di Lorentz. Qui la forza f è indeterminata. Ovviamente, nello specificarla si deve aver cura che essa abbia le corrette caratteristiche. Ciò che ci interessa maggiormente è il termine alla sua destra, il prodotto di ciò che sembra uno scalare, la massa m, e di ciò che sembra un vettore, l'accelerazione a.

Per definizione uno scalare è un valore indipendente dal sistema di riferimento. In quanto all'accelerazione, secondo la definizione essa esprime la variazione della velocità rispetto al tempo, cioè, se Δv è la variazione della velocità che ha luogo al tempo t durante un breve intervallo di tempo Δt, allora essa è data da:

(8.2): a = Δv / Δt.

(La lettera maiuscola greca Δ, che si pronuncia 'delta', è spesso usata in fisica e matematica per denotare la variazione o incremento della variabile alla sua destra, così che Δv sta per 'la variazione di v' e Δt per 'la variazione di t'. Nell'usare rapporti come quello di cui sopra la variazione del numeratore è considerata dipendente da quella del denominatore. Per esempio, se un corpo possiede velocità v₁ al tempo t₁ e v₂ un po' più tardi, al tempo t₂, allora le variazioni sono Δv = ( v₂ – v₁ ) e Δt = ( t₂ – t₁ ).)

L'equazione (8.2) mostra che, anche se la velocità dovesse comportarsi correttamente quando è soggetta ad una trasformazione di Lorentz, non sarebbe così per l'accelerazione, perché possiede un tempo al denominatore, il quale produce un fattore γ quando si esegue una trasformazione di Lorentz (tieni presente che nel considerare la differenza Δt = t₂ – t₁ il termine con x scompare). D'altra parte, la velocità è la variazione dello spazio rispetto al tempo:

v = Δx / Δt.

Qui il numeratore è veramente un vettore, ma la velocità rappresentata dal rapporto non lo è, perché c'è una coordinata tempo al denominatore. In conclusione, né l'accelerazione né la velocità si comportano correttamente rispetto alle trasformazioni di Lorentz. Sebbene siano entrambe caratterizzate da componenti relative ad assi, esse non si comportano come vettori quando sono soggette a trasformazioni di Lorentz. Tuttavia l'equazione (8.1) esprime indubbiamente una buona legge fisica. Come può essa funzionare in qualsiasi sistema di riferimento, essendo che le trasformazioni di Lorentz producono due γ al denominatore? La soluzione deve implicare qualche considerazione fisica.

Diamo all'equazione (8.1) un'altra forma. In fisica esiste un ben noto vettore denominato quantità di moto, il quale è il prodotto massa per velocità:

p = m · v.

In accordo con la definizione, poiché la massa non dipende dal tempo, il membro di destra dell'equazione (8.1) può essere inteso come la variazione della quantità di moto p rispetto al tempo. Infatti:

(8.3): f = m · a

= m · Δv / Δt

= Δ( m · v ) / Δt

= Δp / Δt.

Questa modifica non è di alcun aiuto, a meno che non si possa dimostrare che la quantità di moto p si comporta come un vettore rispetto alle trasformazioni di Lorentz. Come può essere, visto che la velocità contenuta nella sua definizione non è un vero vettore? Il solo modo di soddisfare questo requisito è di ammettere che la massa non sia un vero scalare. Definendo la massa nel modo seguente:

m = m · γ.

il fattore γ della massa neutralizza quello derivante dalla velocità. Poiché γ è uguale ad uno quando la velocità è zero, lo scalare m rappresenta la massa a riposo, cioè la massa che il corpo possiede quando è fermo.

Consideriamo adesso l'ultimo γ. Einstein lo eliminò affermando che il tempo al denominatore dovrebbe essere sostituito dal tempo proprio τ = t / γ, il cui valore, in accordo con la definizione, è indipendente dal sistema di riferimento. Infatti, poiché t' = γ · t, allora

τ' = t' / γ = ( γ · t ) / γ = τ.

cioè, τ' = τ. Sostituendo t con τ, l'equazione (8.3) diventa:

f = Δp / Δτ,

che è chiaramente invariante rispetto alle trasformazioni di Lorentz ed ha perciò la stessa forma in qualsiasi sistema di riferimento.

Con la nuova definizione la massa m non è più uno scalare. Ciò appare piuttosto strano, essendo che essa è sempre stata considerata una proprietà invariante della materia, indipendente dal sistema di riferimento. Ora vediamo invece che a motivo di γ il suo valore è funzione della velocità.

The theory of relativity

The Lorentz transformation was introduced in order that the electromagnetic laws maintained the same appearance in any inertial frame of coordinates, independently from the velocity of the observer. Consequently, at that time there existed two transformation laws for passing from one system of reference to another, one for the electromagnetic and another one for all the other physical phenomena. Then, in 1905, for the first time Einstein unified all the transformations laws by stating that “all laws of physics must be invariant under Lorentz transformations.” This statement replaced the Newton's principle of relativity, which said: “The motions of bodies included in a given space are the same among themselves, whether that space is at rest or moves uniformly forward in a straight line.”

What did this innovation imply? Consider Newton's second law:

(8.1): f = m · a.

The vector equation states that a force f applied to a body of mass m produces an acceleration a inversely proportional to the mass of the body (massive objects possess greater inertia). How does equation (8.1) behave when subject to a change of reference? According to Einstein's principle of relativity, both sides of the equation should transform according to the Lorentz law. Here the force f is unspecified. Obviously, in specifying it, care must be taken in order that it behave correctly. What interests us most is the term at its right, the product of what looks like a scalar, the mass m, and what looks like a vector, the acceleration a.

By definition a scalar is a value independent of the system of reference. As for the acceleration, according to definition it expresses the variation of velocity with respect to time, that is, if Δv is the variation of velocity at the time t during a small time interval Δt, than the acceleration is:

(8.2): a = Δv / Δt.

(The capital Greek letter Δ, pronounced 'delta', is often used in physics and mathematics to denote variation or incrementation of the variable at its right, so Δv stands for 'the variation of v', and Δt for 'the variation of t'. When ratios like those written above are used, the variation at the numerator is considered dependent on the one at the denominator. For example, if a body has velocity v₁ at the time t₁, and v₂ a little later, at a time t₂, then the variations are Δv = ( v₂ – v₁ ) and Δt = ( t₂ – t₁ ).)

Equation (8.2) shows that even if the velocity behaved correctly under Lorentz transformations the acceleration would not, because it possessed a time at the denominator, which would produce a γ when subject to a Lorentz transformation (keep in mind that in taking the difference Δt = t₂ – t₁ the x term disappears). On the other hand velocity is the variation of space with respect to time:

v = Δx / Δt.

Here, while the numerator is indeed a vector, the velocity represented by the above ratio isn't, because there's a time coordinate at the denominator. In conclusion, neither acceleration, nor velocity behave correctly under Lorentz transformations. Although they're both characterized by components with respect to some axes, they do not act like vectors under Lorentz transformations. Nonetheless, equation (8.1) is undoubtedly a good physical law. How can it work in any frame, while having two γs at the denominator? The solution must involve some physical considerations.

Let us give equation (8.1) another form. In physics there exists a well known vector called momentum, which is the product of mass times velocity:

p = m · v.

According to definition, since the mass does not depend on t the right hand side of equation (8.1) can be thought as the variation with time of the momentum p:

(8.3): f = m · a

= m · Δv / Δt

= Δ( m · v ) / Δt

= Δp / Δt.

This modification is of no help unless we can prove that the momentum p behaves like a vector under Lorentz transformations. How can it be, having seen that the velocity that is part of its definition isn't a true vector? The only way to satisfy this requirement is to admit that the mass isn't a true scalar. By defining the mass in the following way:

m = m · γ.

the γ factor of the mass neutralizes the one associated to the velocity. Since γ is equal to one when the velocity is zero, the scalar m represents the rest mass, that is, the mass the body possesses at rest.

Consider now the last γ. Einstein took care of it by saying that the time at the denominator should be replaced by the proper time τ: = t / γ:. whose value, according to definition, is frame independent. In fact, since t' = γ · t, then

τ' = t' / γ = ( γ · t ) / γ = τ.

that is, τ' = τ, as stated. By substituting t with τ, equation (8.3) becomes:

f = Δp / Δτ,

which is clearly invariant under Lorentz transformations and looks the same in any inertial frame of reference.

With its new definition the mass m is no longer a scalar. This looks quite odd since it had always been considered an invariant property of matter, independent of the system of reference. Now we see instead that through γ its value is velocity dependent.