L'origine della metrica di Minkowski
Nel seguito esamineremo 1) la ragione per cui lo spazio-tempo fisico manifesta il comportamento espresso dalle trasformazioni di Lorentz e come ha origine la metrica di Minkowski, 2) la differenza tra lo spazio-tempo fisico e l'etere per quanto riguarda la misura delle distanze, e 3) la relazione che esiste tra le coordinate fisiche e quelle dell'etere, con la sua implicazione per quanto riguarda la velocità della terra rispetto all'etere.
Nei blog precedenti abbiamo prendemmo già in considerazione alcuni degli aspetti che andremo qui a considerare, ma con il minimo uso di formule matematiche. Ora tratteremo tali aspetti in maggior dettaglio, usando gli appropriati strumenti matematici.
1) Origine della metrica di Minkowski
Lo studio della ragione per cui il tempo si dilata nel passare da un sistema di riferimento inerziale ad uno in moto con velocità costante rispetto al primo ha mostrato che sembra ragionevole pensare che ciò che cambia non è la lunghezza del tempo (infatti una trasformazione puramente ipotetica non può cambiare le durate dei tempi), ma la sua unità di misura, la quale è proporzionale ai periodi associati alle particelle elementari.
Infatti, se prendiamo in considerazione un tempo t e un periodo T associato ad una particella elementare e li sottoponiamo ad una trasformazione di Lorentz, essi mutano in accordo con le seguenti leggi: t' = t ∙ γ, T' = T / γ, dove γ = 1 / √(1 – v2 / c2). Di conseguenza, T' ∙ t' = T ∙ t. Scegliendo T come unità di tempo, comprendiamo che t non è altro che il numero di oscillazioni lungo la propria direzione spazio-temporale, mentre τ = t ∙ T rappresenta il corrispondente intervallo di tempo invariante.
Per quanto riguarda la parte spaziale, consideriamo una sbarra (o una lunghezza d'onda) di lunghezza L, posta parallela alla direzione del moto. Come la velocità del suo sistema aumenta, la sua lunghezza appare accorciata secondo la legge L' = L / γ. Se un estremo giace nell'origine del sistema di riferimento e l'altro ha coordinate x1, per effetto di un cambiamento del riferimento la relazione tra la nuova coordinata e la vecchia è la seguente x1' = x1 ∙ γ. Sebbene in termini di coordinate la lunghezza della sbarra aumenti, il prodotto λ = L ∙ x1 rimane lo stesso quale che sia la velocità del sistema di riferimento. Perciò L rappresenta la naturale unità di misura lungo la direzione spaziale.
Questi ragionamenti lasciano capire che lo spazio-tempo fisico manifesta il suo strano (minkowskiano) comportamento per il fatto che i tempi e le distanze sono misurati in base a periodi e lunghezze d'onda, i quali agiscono da unità di misura e le cui lunghezze sono dipendenti dalla direzione nello spazio-tempo lungo cui sono misurate, ossia, dalla velocità del sistema in cui è eseguita l'osservazione.
Se si considera un periodo T ed una lunghezza d'onda L, è possibile disegnare la figura che segue, la quale rappresenta tutti i valori che T ed L possono assumere quando la velocità varia da -c a c (nel disegno le unità di spazio e di tempo sono scelte tali che c = 1):
L'immagine
sopra riportata, raffigurata nel sistema di coordinate fisico, è
invariante rispetto alle trasformazioni di Lorentz. Infatti,
nell'ottenerla non ci si è riferito ad alcun particolare
sistema di riferimento (è da notare che non ci sono onde
muoventesi lungo la direzione spaziale della figura, in quanto non
esistono particelle note che si muovano più velocemente
della luce).
Qualsiasi altra trasformazione non lascia la forma invariata, ma la deforma in qualche maniera. Di conseguenza, solo le trasformazioni di Lorentz preservano la forma delle equazioni fisiche sotto un cambiamento del sistema di riferimento. Per questa ragione esse sono le sole trasformazioni adatte a cambiamenti di riferimento.
Da parte sua, la sola metrica che è invariante alle trasformazioni di Lorentz è quella minkowskiana. Lo si può verificare considerando una qualsiasi combinazione bilineare delle coordinate e sottoponendola ad una trasformazione di Lorentz. Il requisito affinché la metrica rimanga invariante possiede una sola soluzione: la metrica di Minkowski!
Perciò, poiché esprime la fisica che sottosta alle trasformazioni che coinvolgono il moto, la figura di cui sopra determina sia il tipo di trasformazioni che preservano la forma delle equazioni fisiche che la metrica dello spazio-tempo. Se le onde si comportassero in maniera diversa, sia le trasformazioni di Lorentz, sia la metrica di Minkowski sarebbero prive di significato nel contesto fisico.
Oltre a ciò, possiamo dire che tutti i vettori dello spazio-tempo si comportano come in effetti fanno a motivo di tale forma, ossia tutti i vettori che sono associati in qualche maniera a delle onde dell'etere devono ubbidire alla legge di trasformazione di Lorentz. D'altra parte, ci si aspetta che i vettori che non sono originati da onde dell'etere non debbano essere soggetti a tale legge ma, come nel caso di quelli associati direttamente all'etere, ubbidiscano alle normali leggi che governano le rotazioni.
Questo è un aspetto che deve essere provato da esperimenti del tipo di quello già proposto per la determinazione della velocità della terra rispetto all'etere. Questo argomento è considerato in maggior dettaglio nella terza parte di questo blog.
2) L'etere e le distanze fisiche
I ragionamenti sopra esposti costituiscono la base per l'accettazione dell'etere, caratterizzato dall'ordinaria metrica euclidea, le cui onde provvedono le unità di misurazione del mondo fisico. In altre parole, in un sistema di riferimento ortonormale il quadrato della distanza tra due punti P e Q aventi coordinate xP e xQ è dato dalla ben nota formula di Pitagora:
d 2 = (xQ0 – xP0)2 + (xQ1 – xP1)2 + (xQ2 – xP2)2 + (xQ3 – xP3)2 ,
ossia, usando la più compatta notazione tensoriale,
d2 = eμν (xQμ – xPμ) (xQν – xPν),
dove eαβ è l'ordinario tensore metrico euclideo.
In termini delle coordinate fisiche yP e yQ, il quadrato della stessa distanza è dato da:
d2 = (yQ0 - yP0)2 - (yQ1 - yP1)2 - (yQ2 - yP2)2 - (yQ3 - yP3)2 ,
e, in notazione tensoriale,
d 2 = ημν (yQμ - yPμ) (yQν - yPν),
dove ηαβ è il tensore metrico di Minkowski.
3) Relazione esistente tra le coordinate dell'etere e quelle fisiche
Che relazione esiste tra le coordinate dell'etere xμ e le fisiche yμ ? Consideriamo il caso in cui le coordinate fisiche siano a riposo rispetto all'etere (definiamo fondamentale un tale sistema). Se entrambe le coordinate sono ortonormali, allora esse possono essere fatte coincidere, e in tal caso yμ = xμ.
Supponiamo di sottoporre le coordinate fisiche ad una trasformazione di Lorentz: yμ' = Lμν xν, dove Lμν è la matrice che esprime tale trasformazione. In particolare, se il moto avviene lungo l'asse x1 con velocità v, allora:
y0' = ( x0 + v ∙ x1 / c ) ∙ γ ,
y1' = ( x1 + v ∙ x0 / c ) ∙ γ ,
dove γ = 1 / √( 1 - v2 / c2 ), mentre le altre coordinate rimangono inalterate.
Consideriamo adesso gli assi delle nuove xμ' e richiediamo che siano paralleli a quelli delle yμ'. Naturalmente, essi non sono ortogonali. Tuttavia, richiediamo che le unità di riferimento siano preservate. In tal caso, nell'etere le trasformazioni che corrispondono a quelle delle coordinate fisiche sono semplici rotazioni:
x0' = x0 ∙ cos( θ ) + x1 ∙ sen( θ ),
x1' = x1 ∙ cos( θ ) + x0 ∙ sen( θ ),
dove θ = arctan( v / c ), cos( θ ) = 1 / √( 1 + v2 / c2 ), sen( θ ) = ( v / c ) / √( 1 + v2 / c2 ). Ciascun asse è soggetto ad un'ordinaria rotazione, ma l'una in direzione opposta dell'altra, così che entrambi termini che contengono la funzione sen( θ ) hanno lo stesso segno, positivo o negativo, a seconda della direzione della rotazione.
Espresse in funzione della velocità v, le rotazioni sopra riportate hanno la seguente espressione:
x0' = ( x0 + v ∙ x1 / c ) / √( 1 + v2 / c2 ),
x1' = ( x1 + v ∙ x0 / c ) / √( 1 + v2 / c2 ),
con le inverse:
x0 = ( x0' - x1' ∙ v / c ) ∙ √( 1 + v2 / c2 ) / ( 1 - v2 / c2 ),
x1 = ( x1' - x0' ∙ v / c ) ∙ √( 1 + v2 / c2 ) / ( 1 - v2 / c2 ).
Introducendo queste nelle yμ si ottiene il seguente risultato:
y0' = x0' ∙ γ ∙ √( 1 + v2 / c2 ),
y1' = x1' ∙ γ ∙ √( 1 + v2 / c2 ),
In conclusione, scegliendo appropriatamente gli assi e le unità di misura, in generale esiste la seguente relazione tra le coordinate fisiche e quelle dell'etere:
y0 = x0 ∙ Γ,
y1 = x1 ∙ Γ,
y2 = x2,
y3 = x3,
dove Γ = √[( 1 + v2 / c2 ) / ( 1 - v2 / c2 )] e v è la velocità del sistema fisico rispetto a quello fondamentale (cioè, quello dell'etere a riposo).
Lungo la direzione di moto le lunghezze sono dilatate. Un'accurata misurazione dei moti orbitali dovrebbe permettere di determinare la velocità della terra rispetto all'etere.
The Origin of the Minkowski metric
In the following we'll examine 1) the reason why the physical space-time manifests the behavior expressed by the Lorentz transformations and how the Minkowski metric originates, 2) the difference between the physical space-time and the ether with regard to the measure of distances, and 3) the relationship that exists between the physical and the ether coordinates, with its implication regarding the earth's velocity with respect to the ether.
In previous blogs we already took into account some of the aspects we consider here, but with minimal use of mathematical formulas. Here we'll consider those aspects in more detail by using the appropriate mathematical tools.
1) Origin of the Minkowski metric
The investigation of the reason why time dilates in passing from an inertial system of reference to one moving with constant velocity with respect to the former one showed that it looks reasonable to think that what changes is not the time length (in fact a purely hypothetical transformation cannot change the time lengths), but its measuring unit, which is proportional to the periods associated to the elementary particles.
In fact, if we consider a time t and a period T associated to an elementary particle, if subject to a Lorentz transformation they change according to the following laws: t' = t ∙ γ, T' = T / γ, where γ = 1 / √(1 – v2 / c2). Consequently, T' ∙ t' = T ∙ t. By choosing T as time unit, we see that t is nothing but the number of oscillations along its own time-like direction, while τ = t ∙ T represents the corresponding invariant time interval.
As for the spatial part, consider a rod (or a wavelength) of length L placed parallel to the direction of motion. As its velocity increases, its length appears to shorten according to L' = L / γ. If one extreme lies at the origin of the system of reference and the other one has coordinate x1, under a change of reference the new coordinate is related to the old one by x1' = x1 ∙ γ. Although in terms of coordinates its length increases, the product λ = L ∙ x1 remains the same in any system of reference. Hence, L represents the natural unit in the space-like direction.
These reasonings suggest that the physical space-time manifests its odd (Minkowskian) behavior for the fact that times and distances are measured in terms of periods and wavelengths, which act as measuring units and whose lengths depend on the direction in space-time along which they are measured, that is, on the velocity of the observing system.
By taking into account a period T and a wavelength L, one can draw the following picture, which represents all the values T and L assume as the velocity changes from -c to c (in the drawing, the units of space and time are chosen such that c = 1):
The above picture, which is understood to be drawn in a system of
physical coordinates, is invariant under Lorentz transformations.
In fact, in deriving it we didn't mention any particular frame (it
is to be noted, though, that there correspond no waves moving
along the spatial part of the picture, since no known particles
move faster than the speed of light).
Any other transformation doesn't leave the above shape invariant, but bends, or squeezes it in some way. Consequently, only the Lorentz transformations preserve the form of the physical equations under change of reference. For this reason, they are the only transformations fitted for changing system of reference.
On its part, the only metric that is invariant under Lorentz transformations is the Minkowski one. One can check this by considering any bilinear combination of coordinates and subject it to a Lorentz transformation. The requirement that the metric remain invariant has only one solution: the Minkowski metric!
Therefore, since it expresses the physics that underlies the transformations that involve motion, the above shape determines both the type of the transformations that preserve the form of the physical equations, as well as the space-time metric. If waves behaved differently, neither the Lorentz transformations nor the Minkowski metric would be meaningful in the physical context.
Besides this, we can also say that all vectors of space-time behave as they do because of that shape, i.e. all vectors that are related to ether waves must obey the Lorentz law of transformation. On the other hand, we expect that vectors that aren't originated by ether waves shouldn't be subject to the Lorentz law but, if related to the ether, should follow the rules of ordinary rotations.
This is an aspect that is to be proven by experiments, like the one for measuring the earth's velocity with respect to the ether proposed in a previous blog. This aspect is considered in more detail in the third part of this blog.
2) Ether and physical distances
The above reasonings are the base for accepting the ether, characterized by the ordinary Euclidean metric, whose waves provide the measuring units in the physical world. In other words, in an orthonormal system of reference, the square of the distance between two points P and Q having coordinates xP and xQ, is given by the well known Pythagoras formula:
d 2 = (xQ0 – xP0)2 + (xQ1 – xP1)2 + (xQ2 – xP2)2 + (xQ3 – xP3)2 ,
or, using the shorter tensor notation,
d 2 = eμν (xQμ – xPμ) (xQν – xPν),
where eαβ is the ordinary Euclidean metric tensor.
In terms of the physical coordinates yP and yQ, the square of the same distance is given by
d 2 = (yQ0 - yP0)2 - (yQ1 - yP1)2 - (yQ2 - yP2)2 - (yQ3 - yP3)2 ,
and, in tensor notation,
d 2 = ημν (yQμ - yPμ) (yQν - yPν),
where ηαβ is the Minkowskian metric tensor.
3) Relationship between the ether and the physical coordinates
What relation exists between the ether coordinates xμ and the physical ones yμ? Consider the case in which the physical coordinates are at rest with respect to the ether (we call such a system fundamental). If the coordinates are both orthonormal, then they can be made to coincide, and in that case yμ = xμ.
Suppose that the physical coordinates are subjected to a Lorentz transformation: yμ' = Lμν xν, where Lμν is the matrix that expresses the transformation. In particular, if the motion occurs along the x1 direction with velocity v, then:
y0' = ( x0 + v ∙ x1 / c ) ∙ γ ,
y1' = ( x1 + v ∙ x0 / c ) ∙ γ ,
where γ = 1 / √( 1 - v2 / c2 ), while the other coordinates remain unchanged.
Now consider the axes of the new xμ', and require that they be parallel to those of the yμ'. Of course, they are no longer orthogonal. However, we require that the referencing units be preserved. The corresponding ether transformations then are the following:
x0' = x0 ∙ cos( θ ) + x1 ∙ sin( θ ),
x1' = x1 ∙ cos( θ ) + x0 ∙ sin( θ ),
where θ = arctg( v / c ), cos( θ ) = 1 / √( 1 + v2 / c2 ), sin( θ ) = ( v / c ) / √( 1 + v2 / c2 ). Each axis is subject to an ordinary rotation, but on opposite directions, so that both terms with the sin( θ ) have the same sign, either positive or negative, depending on the direction of rotation.
In terms of the velocity v, the above rotations have the following expression:
x0' = ( x0 + v ∙ x1 / c ) / √( 1 + v2 / c2 ),
x1' = ( x1 + v ∙ x0 / c ) / √( 1 + v2 / c2 ),
with inverses:
x0 = ( x0' - x1' ∙ v / c ) ∙ √( 1 + v2 / c2 ) / ( 1 - v2 / c2 ),
x1 = ( x1' - x0' ∙ v / c ) ∙ √( 1 + v2 / c2 ) / ( 1 - v2 / c2 ).
Substitution of this into the yμ produces the following result:
y0' = x0' ∙ γ ∙ √( 1 + v2 / c2 ),
y1' = x1' ∙ γ ∙ √( 1 + v2 / c2 ),
In conclusion, with appropriately chosen axes and measuring units, the following general relationship exists between the physical and the ether coordinates:
y0 = x0 ∙ Γ,
y1 = x1 ∙ Γ,
y2 = x2,
y3 = x3,
where Γ = √[( 1 + v2 / c2 ) / ( 1 - v2 / c2 )], and v is the velocity of the physical system with respect to the fundamental one (ether at rest).
Along the direction of motion with respect to the ether, the lengths are dilated. A precise monitoring of some orbital motions should permit to determine the velocity of the earth with respect to the ether.