Fisica — Physics

La massa relativistica

Nel capitolo precedente abbiamo visto che, affinché la seconda legge di Newton sia invariante rispetto alle trasformazioni di Lorentz, la massa deve essere funzione della velocità mediante il fattore relativistico γ:

m = m · γ.

Che cosa significa? Esaminiamo come varia la massa in funzione della velocità. Per velocità ordinarie (v / c << 1) il fattore γ differisce di poco dall'unità e produce un'alterazione molto piccola. Perciò possiamo scrivere la massa come somma della massa a riposo m più un piccolo termine Δm:

(9.1): m · γ = m + Δm.

Se v / c è molto piccolo, allora pure Δm è molto piccolo e possiamo approssimare il calcolo ignorando il quadrato di v / c, di Δm, come pure le loro potenze di grado superiore ed i mutui prodotti del tipo ( v / c ) · Δm. Infatti, se assumiamo che v rappresenti 100 km/h, allora v / c è circa un decimo di milionesimo e v2 / c2 è dell'ordine di un centesimo di trilionesimo. I termini dell'ordine di grandezza del trilionesimo si possono sicuramente trascurare. Premesso questo, consideriamo la definizione di γ:

γ = 1 / √( 1 – v2 / c2 ),

e applichiamola all'equazione (9.1). Poiché non vogliamo trattare con radici quadrate, eleviamo a quadrato entrambi i membri. Otteniamo quanto segue:

m2 / ( 1 – v2 / c2 ) = m2 + 2 · m · Δm + ... ,

dove i puntini stanno al posto dei termini trascurati. Ora moltiplichiamo entrambi i membri per 1 – v2 / c2 ed eliminiamo il denominatore, essendo che per v > 0 è diverso da zero. Otteniamo:

m2 = m2 – m2 · ( v / c )2 + 2 · m · Δm + ... .

Poiché le parti in rosso si cancellano, un'ulteriore arrangiamento e semplificazione produce:

Δm = ½ · m · v2 / c2.

A parte la costante c2 al denominatore del secondo membro, Δm non è altro che l'energia cinetica di un corpo caratterizzato da massa m e velocità v. Introduciamo questo risultato nell'equazione (9.1) e moltiplichiamo entrambi i membri per c2. Otteniamo:

m · c2 = m · c2 + kinetic energy.

Da questa espressione comprendiamo che E = m · c2 rappresenta l'energia totale del corpo e che E = m · c2 è la sua energia a riposo. Il principio di relatività, cioè il requisito che tutte le leggi della fisica siano invarianti rispetto alle trasformazioni di Lorentz produce il risultato che tutta la materia possiede energia a riposo e che massa ed energia rappresentano la stessa proprietà fisica (la costante c2 cambia essenzialmente solo l'unità di misura).

Ora la domanda è: se la massa, o energia, non è uno scalare, che cos'è? Per rispondere a questa domanda dobbiamo considerare quanto segue. In La teoria della relatività abbiamo visto che grazie alla trasformazione della massa mediante il fattore γ la quantità di moto p = m · v manifesta il corretto comportamento quando è soggetta a trasformazioni di Lorentz. Ora consideriamo una particella a riposo (v = 0). Allora anche p = m · v = 0. Se assoggettiamo la particella ad una trasformazione di Lorentz con velocità v lungo la direzione x1, la fisica ci dice che essa acquista quantità di moto:

(9.2): p1' = m · v.

D'altra parte, la legge di Lorentz dice che:

(9.3): p1' = ( p1 + p0 · v / c2 ) · γ

Poiché stiamo considerando una particella inizialmente a riposo (p1 = 0), allora l'equazione (9.3) si riduce a:

(9.4): p1' = p0 · γ · v / c2

Dal confronto di (9.2) e (9.4) e usando la (9.1) otteniamo:

m · γ = p0 · γ / c2.

Eliminando il fattore γ otteniamo m = p0 / c2. Perciò, data la relazione esistente tra massa ed energia, possiamo anche scrivere E = p0. Il risultato è che l'energia rappresenta la componente temporale del quadrivettore pμ, e la massa, essendo proporzionale all'energia, si trasforma pure come una componente temporale di quadrivettore. É per tale motivo che le è associato il fattore γ. Da ora poi ci riferiremo a pμ come al quadrivettore energia-quantità di moto.

The relativistic mass

In the preceding chapter we saw that in order that Newton's second law be invariant under Lorentz transformations the mass had to be velocity-dependent through the relativistic factor γ:

m = m · γ.

What does it mean? Let's examine the deviation produced by velocity to the mass. For ordinary velocities (v / c << 1), the γ factor differs very little from unity, and produces a very small alteration. Hence we can write the mass as the sum of the rest mass m plus a small term Δm:

(9.1): m · γ = m + Δm.

If v / c is very small, then also Δm is very small, and we can approximate the calculations by neglecting the squares of v / c and Δm as well as their powers and the mutual products of the type ( v / c ) · Δm. In fact, if we take v to represent 100 km/h, v / c is about one tenth of a millionth and v2 / c2 is of the order of one hundredth of a trillionth. The approximation is surely justifiable. Consider now the definition of γ:

γ = 1 / √( 1 – v2 / c2 ),

and apply it to equation (9.1). Since we do not want to deal with square roots, we square both sides of the resulting equation. Here's what we get:

m2 / ( 1 – v2 / c2 ) = m2 + 2 · m · Δm + ... ,

where the dots stand for the neglected terms. Now we multiply both sides by 1 – v2 / c2 and eliminate the denominator, since for v > 0 it is different from zero. We obtain:

m2 = m2 – m2 · ( v / c )2 + 2 · m · Δm + ... .

Since the parts in red cancel out, a further rearrangement and simplification gives:

Δm = ½ · m · v2 / c2.

Apart from the constant c2 at the denominator of the second term, Δm is nothing but the kinetic energy of a body characterized by rest mass m and velocity v. Introduction into equation (9.1) and multiplication of both sides by c2 gives:

m · c2 = m · c2 + kinetic energy.

From here we understand that E = m · c2 represents the body's total energy and that E = m · c2 is its rest energy. The principle of relativity, i.e., the requirement that all laws of physics be invariant under Lorentz transformations brings forth the result that all matter possesses rest energy and that mass and energy represent the same physical property (the constant c2 essentially changes only the unit).

Now the question is: if mass, or energy, is not a scalar, what is it? To answer to this question we must consider what follows. In The theory of relativity we saw that, thanks to the mass transformation property (factor γ) the momentum p = m · v manifests the correct behaviour when subject to Lorentz transformations. Now consider a particle at rest (v = 0). Then also p = m · v = 0. If we subject the particle to a Lorentz transformation with velocity v along the x1 direction, ordinary physics tells us that the particle acquires the momentum:

(9.2): p1' = m · v.

However, the Lorentz law says that:

(9.3): p1' = ( p1 + p0 · v / c2 ) · γ

Since we are dealing with a particle initially at rest (p1 = 0), then equation (9.3) reduces to:

(9.4): p1' = p0 · γ · v / c2

By comparing (9.2) and (9.4) and using (9.1) we obtain

m · γ = p0 · γ / c2.

By eliminating the γ factor we obtain m = p0 / c2. Hence, given the relationship between mass and energy, we can also write E = p0. The result is that energy represents the time component of the 4-vector pμ, and the mass, being proportional to the energy, also transforms like the fourth component of a 4-vector, and for that reason it has a γ factor. From now on we shall refer to pμ as to the energy-momentum 4-vector.