Introduzione alla relatività

Cominciamo la nostra considerazione della teoria della relatività cercando di ottenere le leggi che la governano. Forse sai che la teoria della relatività dice che le misure degli intervalli di spazio e di tempo dipendono dalla velocità con cui si muove chi le esegue. Infatti, considera questa semplice situazione: supponi che mentre stai camminando lungo una strada tu veda passare in auto un amico e ti chieda: “La durata tra due ticchettii del mio orologio durano quanto quelli dell'orologio del mio amico che sta viaggiando in auto?” Se fossi tu ad eseguire entrambe le misurazioni, cioè se la misurazione fosse fatta “nel tuo sistema di riferimento”, la risposta è no. Naturalmente, nel dire questo non sono prese in esame le imperfezioni degli orologi. In altre parole, mentre è vero che la differenza tra le due misure temporali è molto piccola e che nessun orologio ordinario è in grado di mostrarla, tuttavia i due orologi procedono con velocità diverse e la differenza non è dovuta a qualche loro imperfezione, ma alla fisica che ne è coinvolta.

Questa è solo teoria, potresti dire. No. In seguito considereremo esempi che mostreranno che la dilatazione dei tempi e la contrazione degli spazi sono reali e producono effetti osservabili. Essi mostreranno pure che l'alterazione del tempo e dello spazio non concerne solo orologi e metri, ma tutti i processi fisici in cui sono coinvolti spazio e tempo.

Riguardo ai due orologi appena considerati, quale dei due è più veloce e quale più lento? La straordinaria risposta è che ciò dipende dal punto di vista (dalla velocità dell'osservatore o del sistema di riferimento). Se tu fossi in grado di leggere il quadrante dell'orologio del tuo amico, noteresti che esso non procede con la stessa velocità del tuo (per chi è più esperto aggiungo che la differenza non è dovuta all'effetto Doppler). Viceversa, se il tuo amico potesse osservare il tuo orologio, egli noterebbe che è il tuo a procedere più lentamente! In conclusione, quale orologio vince la corsa? Nessuno dei due, ossia, dal tuo punto di vista, il tuo vince!

Prima di procedere ad un esperimento concettuale che ci permetta di calcolare la dipendenza degli intervalli temporali dalla velocità dell'osservatore, consideriamo l'esperimento che condusse Einstein a formulare la teoria della relatività. Era l'anno 1887 e alcuni scienziati si chiedevano quale fosse la velocità della terra rispetto all'etere. Infatti in quel tempo si pensava che l'intero universo fosse pervaso da una specie di sostanza, l'etere, un concetto originato dagli antichi greci e che è tuttora dibattuto. L'esperimento si basava sul seguente ragionamento: se l'etere esiste, allora 1) nel corso dell'anno la terra si muove con velocità diverse rispetto ad esso a motivo dell'orbita che essa compie attorno al sole, mentre 2) la luce si muove sempre con la stessa velocità rispetto all'etere, indipendentemente dalla velocità della terra o dell'osservatore. Questa è basilarmente l'idea. Di conseguenza, esaminata dalla terra la luce dovrebbe manifestare diverse velocità nel corso dell'anno e la loro misurazione dovrebbe permettere di determinare la velocità della terra rispetto all'etere.

Per comprendere meglio questo aspetto, chiamiamo v la velocità della terra e c quella della luce, entrambe rispetto all'etere, e cerchiamo di calcolare la velocità della luce dal punto di vista della terra. Un raggio di luce che si muova nella direzione di moto della terra dovrebbe possedere una velocità ridotta, pari a c – v. Similmente, nella direzione opposta dovrebbe apparire muoversi con velocità c + v. Quindi, misurando la velocità della luce in varie direzioni si dovrebbe essere in grado di determinare la velocità della terra rispetto all'etere. Infatti, supponi che dal punto di vista di chi sta sulla terra la velocità della luce lungo una certa direzione sia w, un po' più piccola di c. Questo significa che nella direzione del raggio di luce la velocità della terra è v = c – w, mentre se w è maggiore di c, allora la terra si muove in direzione opposta con velocità v = w – c. Perciò vediamo che, se le ipotesi riguardo all'etere sono corrette, misurando la velocità della luce lungo varie direzioni e mediante un semplice calcolo dovrebbe essere possibile ricavare la velocità della terra rispetto all'etere.

Nel 1887 sulla base di un ragionamento simile Michelson e Morley tentarono di determinare la velocità della terra rispetto all'etere tramite misure della velocità della luce. Il risultato fu sconvolgente! La velocità della luce era sempre la stessa in tutte le direzioni e durante tutto il corso dell'anno. Poiché la terra si muove alla velocità di circa 30 km/sec attorno al sole e d'altra parte l'esperimento era in grado di misurare velocità con precisione molto maggiore (5 km/sec), il risultato dimostrò al di là di ogni dubbio che la velocità della luce è sempre la stessa in ogni direzione.

Questo è il risultato fondamentale da cui è possibile giungere alla conclusione che gli intervalli di spazio e di tempo cambiano con la velocità dell'osservatore e ottenere le formule che mettono in relazione le lunghezze degli intervalli misurati da due osservatori in moto relativo.

Introduction to relativity

Let's start our consideration of the theory of relativity by trying to derive some of the laws that govern it. Among other things, it's a known fact that according to the theory of relativity the measurements of the space and time intervals depend on the velocity of the observer. Just to make things clear, consider this simple situation: while you're walking on a street and observe the cars passing by, you see in one of them a friend of yours, and ask yourself: “Does the duration between two ticks on my clock last as long as those on my friend's clock, who is traveling in the car?” If both measurements are made by you, i.e. from the point of view of your system of reference, then the answer is no. Of course, in saying this we do not take into account the imperfections of the clocks. In other words, while it's true that the difference between the two time measurements is very small and that no ordinary clock is able to show it, the two clocks tick with different speeds, and the difference is not due to some imperfection, but to the physics involved.

This is just theory, one might say. No. Later on, we shall consider an example showing that the time dilation and space contraction are real and produce observable effects. It will also show that the alteration of time and space doesn't regard only clocks or measuring rods, but any physical process involving space and time.

Regarding the two clocks we just considered, which one moves faster and which one slower? The amazing thing is that it depends on the point of view (on the velocity of the observer, or of the system of reference). If you were able to read the quadrant of your friend's clock, you'd notice that it doesn't tick as fast as yours (for the experienced reader, I add that this difference isn't due to a Doppler effect). Viceversa, if your friend could observe your clock, he'd find that it's yours that runs slower! In conclusion, which clock wins the race? Neither one, or, from your point of view, yours wins!

Before proceeding to consider a conceptual experiment that allow us to calculate the time dependence of the time intervals on the velocity of the observer, let's consider the experiment that led Einstein to formulate the theory of relativity. It was the year 1887 and some scientists were asking what were the velocity of the earth with respect to the ether. In fact, at that time it was thought that the whole universe was pervaded by a sort of substance, the ether, a concept originated by the ancient Greeks that's still debated today. The experiment was based on this reasoning: if the ether exists, than 1) during the year the earth moves with varying velocities with respect to it, due to its orbit around the sun, while 2) light moves with a well defined, constant velocity with respect to the ether, independently from the earth's or the observer's velocity. This is basically the idea. Consequently, as seen from earth, light should exhibit varying velocities in the course of the year, and a measurement of its speed should permit to determine the earth's velocity with respect to the ether.

In order to better understand this aspect, let's call v the velocity of the earth, and c the velocity of light, both with respect to the ether, and try to calculate the speed of light measured from earth. The velocity of the light that moves in the direction of motion of the earth should appear reduced, and be equal to c – v. For a similar reason, on the opposite direction it should appear to be moving with velocity c + v. Hence, by measuring the speed of light along various directions, one should be able to determine the earth's speed v with respect to the ether. In fact, suppose that from the earth point of view the speed of light along a certain direction be w, a little slower than c. This means that in the direction of the light beam the earth's speed is v = c – w, while if w is greater than c, than the earth moves in the opposite direction, and its velocity is v = w – c. So, we see that if the hypotheses regarding the ether are true, by measuring the speed of light along various directions and through a simple calculation it should possible to derive the earth's velocity relative to the ether.

In 1887, driven by a reasoning like this, two physicists, Michelson and Morley, tried to determine the earth's velocity with respect to the ether by measuring the speed of light. The result was astonishing: the measured speed of light was the same along any direction all year round! Since the earth moves with a velocity of about 30 km/sec around the sun, while the experiment was able to detect velocities much smaller than that, the result proved beyond any doubt that the speed of light is always the same in any direction.

This is the fundamental result from which it's possible to get to the conclusion that the space and time intervals change with the velocity of the observer, and to obtain the formulas that relate the lengths of the intervals measured by two observers in relative constant motion.