Il processo Compton

Il processo Compton riguarda l'interazione di un fotone con un elettrone. Un fotone incontra un elettrone sul suo cammino e viene deviato. La meccanica quantistica fornisce basilarmente la distribuzione di probabilità degli angoli di diffusione. Il processo sembra molto semplice, ma non lo è per niente. Vediamo che cosa accade realmente.

Prima di entrare nei dettagli si deve sapere che le onde fotoniche sono descritte da equazioni differenziali del secondo ordine, le quali ammettono soluzioni con due fronti d'onda, cioè un fronte iniziale che punta verso la direzione del moto ed uno finale che punta all'indietro. In altre parole i fotoni si possono raffigurare come pallottole elettromagnetiche che si muovono alla velocità della luce. Questo gioca un ruolo importante nelle interazioni, poiché le quantità dinamiche come energia, quantità di moto e spin sono trasmesse solo mediante fronti d'onda. L'avere due fronti significa che i fotoni sono in grado di produrre sia azione che reazione. La reazione è prodotta quando il fotone viene emesso, l'azione quando colpisce una particella elettricamente carica. La situazione è diversa nel caso degli elettroni, le cui equazioni differenziali di Dirac ammettono un solo fronte, quello che apre la via nel mentre che l'onda procede. Ciò significa che una volta creata l'onda elettronica rimane, perché non vi è un fronte posteriore che la cancelli, e come lascia il luogo di origine non produce alcuna reazione. Il principio di azione e reazione non è temporaneamente soddisfatto, ma al termine dell'interazione ogni cosa si aggiusta appropriatamente, poiché le interazioni avvengono in due stadi.

Osserviamo cosa accade quando un fotone colpisce un elettrone. Consideriamo un pacchetto di onde che si muove verso il futuro allargandosi ed un'onda fotonica che pure si sta muovendo verso il futuro. Entrambe le onde sono rallentate dall'iper-superficie Σ associata al tempo guida (vedi La direzione del tempo e il tempo guida) e procedono al passo da essa stabilito. Naturalmente, in termini della coordinata temporale i moti non sono influenzati in alcuna maniera, perché il rallentamento si manifesta solo in termini di tempo guida. Ad un certo momento le onde interagiscono. Chiamiamo P₁ il punto dove ha luogo l'interazione. L'energia, quantità di moto e spin del fotone si combinano con quelli dell'elettrone e in una piccola regione dello spazio-tempo l'etere ne risulta eccitato, nel senso che l'energia associata all'onda diventa maggiore di quella di una massa elettronica. Tuttavia la maggiore energia che l'onda possiede verrà usata al termine del processo, quando da lì verrà emesso un fotone. A questo punto, la meccanica quantistica afferma che si viene a formare un pacchetto di onde elettroniche, il quale comincia immediatamente ad espandersi. Effettivamente, poiché le equazioni funzionano altrettanto bene in entrambe le direzioni del tempo, sono due i pacchetti di onde che si formano e iniziano a propagarsi espandendosi, uno verso il passato e l'altro verso il futuro. Le grandezze dinamiche del pacchetto che si muove verso il passato hanno segni opposti rispetto a quello che avanza nel tempo. Attualmente non parte alcun fotone da P₁, ma solo due pacchetti di onde elettroniche, i quali si diffondono in armonia con il principio di indeterminazione.

Seguiamo il pacchetto d'onda che si muove verso il futuro. Presto o tardi il suo fronte d'onda incontrerà un altro fotone ed interagirà con esso in qualche locazione P₂ e si ripeterà il processo appena descritto. A questo punto è interessante osservare ciò che succede dello spin dell'elettrone. Poiché gli elettroni hanno spin s_e = ½, mentre i fotoni hanno spin s_f = 1, come risultato dell'interazione tra l'onda fotonica e il pacchetto elettronico lo spin dell'elettrone può solo invertire la sua direzione, cioè venire ruotato di 180°. Nello spazio spinoriale, invece, lo spin ruota solamente di metà di tale angolo, ossia di 90°. Quindi, ogni volta che un pacchetto d'onda interagisce con un'onda fotonica, nello spazio astratto spinoriale il suo spin viene ruotato di 90° e i pacchetti generati hanno lo spin ruotato di tale angolo.

Consideriamo adesso il pacchetto d'onda che si muove all'indietro nel tempo. In un tempo brevissimo (in termini di tempo guida), poiché non è rallentato da Σ, esso giunge in P₁ dove aveva avuto luogo la prima interazione. Lì esso trova una situazione anormale, poiché l'etere è eccitato. Due cose possono succedere: o l'onda che sopraggiunge interagisce con quella rimasta (questo se le condizioni sono favorevoli), oppure viene in parte riflessa. Consideriamo il primo caso. A motivo dell'interazione, lo spin ruota nuovamente di 90° e le nuove onde che vengono originate in P₁ hanno lo spin ruotato di 180° rispetto a quelle originate dalla prima interazione. Infatti, questa interazione è simile a quella che occorse inizialmente, poiché coinvolge un pacchetto elettronico, un'onda fotonica, una coppia di pacchetti muoventesi in opposte direzioni ed un'onda eccitata. Di conseguenza, anche la rotazione dello spin è identica, cioè di 90°, per un totale di 180°. I nuovi pacchetti elettronici che vengono emessi a seguito di questa interazione sono esattamente uguali a quelli prodotti dalla prima interazione, a parte il segno, perché sono originati dalla stessa onda eccitata, ma con lo spin ruotato di 180°. Perciò, come asserisce la meccanica quantistica, il vecchio pacchetto viene cancellato ed ha luogo il cosiddetto collasso della funzione d'onda. Ciò spiega perché ogni volta che un elettrone è soggetto ad interazione il suo pacchetto d'onda viene rinnovato, mentre quello vecchio scompare. Tutto ciò che riguarda l'elettrone originale viene distrutto e rimangono solamente i nuovi pacchetti. Ciò che chiamiamo elettrone si è spostato da P₁ a P₂ e ciò che rimane dell'energia, quantità di moto e spin dell'onda eccitata viene portato via dal fotone emesso in P₁. Questo nuovo fotone possiede energia positiva, perché tale è il bilancio; perciò esso viene emesso verso il futuro. Mentre le due interazioni avvengono in tempi guida differenti, in termini della coordinata temporale essi sono contemporanei e il processo appare come se il fotone incidente fosse stato semplicemente diffuso dall'interazione con l'elettrone.

Questa è una semplice descrizione di ciò che accade durante l'interazione. Riguardo al pacchetto d'onda che procede all'indietro nel tempo, esso non sempre è in grado di interagire con l'onda eccitata, perché devono essere soddisfatte le leggi di conservazione, ed inoltre perché non tutte le direzioni di spin sono ammesse. In tali casi il pacchetto d'onda viene parzialmente riflesso. Il pacchetto riflesso possiede energia e quantità di moto opposti a quello che aveva lasciato in precedenza P₁, perché è il riflesso di quello venuto dal futuro, mentre lo spin è tale che arrivando in P₂ il pacchetto disfa ciò che era stato precedentemente fatto (attenzione: il cambiamento di segno dell'energia e della quantità di moto non ha niente a che vedere con il cambiamento di segno dell'onda). Quindi, il fotone che aveva prodotto l'interazione in P₂ ritorna al suo stato originale e riprende a muoversi lungo il suo percorso originario come se niente fosse accaduto.

The Compton process

The Compton process regards the interaction of a photon with an electron. An incoming photon encounters an electron in its path and is scattered by it. Quantum mechanics basically provides the probability distribution of the scattering angles. The process looks very simple, but is not simple at all. Let us see what effectively happens.

Before going into some details, one must know that the photon waves are described by second order differential equations, which admit solutions with two wave fronts, i.e., an initial front that points in the direction of motion and a final one pointing backward. In other words, photons may be pictured like electromagnetic bullets that move at the speed of light. This fact plays an important role in the interactions, since the dynamical quantities like energy, momentum and spin are transmitted only through wave fronts. Having two fronts means that photons are able to produce both action and reaction. The reaction is produced when a photon is emitted, the action when it hits a charged particle. The situation is different in the case of electrons, whose Dirac first order differential equations admit just one front, the one that opens the way as the wave moves on. This means that once created electron waves remain, because there's no back front to cancel them, and as they leave the place of origin they don't produce any reaction. The principle of action and reaction isn't temporarily satisfied, but at the end of the interaction everything appropriately adjusts itself, since processes take place in two stages.

Let's see what happens when a photon strikes an electron. Consider an electron wave-packet moving toward the future and spreading out and a photon wave also moving toward the future. They're both slowed down by the hyper-surface Σ associated to the leading time (see The direction of time and the leading time) and move at the pace given by it. Of course, in terms of the coordinate time the motions aren't affected in any way, because the slowing happens only in terms of the leading time. At a certain moment the waves interact. Let us call P₁ the point where the interaction takes place. The photon energy, momentum and spin merge with those of the electron and in a small space-time region near P₁ the ether gets excited, in the sense that the energy associated to the wave is larger than the one due to an electron mass. However, this extra energy will be needed at the end of the process, when a photon will be emitted from there. At this point quantum mechanics says that an electron wave-packet is formed and starts immediately spreading out. Actually, since the equations work on both directions of time, two wave-packets are formed and start spreading, one toward the past, the other one toward the future. The dynamical quantities of the packet that spreads toward the past have signs opposite with respect to the one that moves forward in time. Presently, no photon wave gets emitted, but only two electron wave-packets, which spread according to the uncertainty principle.

Let's follow the wave-packet that moves toward the future. Sooner or later its front will encounter another photon and interact with it at some point P₂, and the process just described will repeat itself. At this point it's interesting to see what happens of the spin of the electron. Since electrons have spin s_e = ½, but photons have spin s_p = 1, as a result of the interaction between the photon wave and the electron wave-packet, the electron spin can only reverse its direction, i.e., get rotated by 180°. In the spinor space, however, the spin rotates by only half that angle, namely by 90°. Hence, every time an electron wave-paket interacts with a photon wave, in the abstract spinor space its spin gets rotated by 90°, and the generated packets have their spin rotated by that angle.

Consider now the wave-packet that moves backward in time. In practically no (leading) time, since it isn't slowed by Σ, it gets back at P₁, where the first interaction took place. There it finds an abnormal situation, since at P₁ the ether is excited. Two things can happen: either the incoming wave interacts (if the conditions are favourable), or gets partly reflected. Consider the first case. Due to the interaction, again the spinor rotates by 90°, and the new packets issuing from P₁ have their spin rotated by 180° with respect to those that previously left when the first interaction took place. In fact, this interaction is similar to the one that occurred initially, since it involves an electron packet, a photon wave, a couple of packets moving in opposite time directions and an excited wave. Consequently also the spin rotation is identical, i.e. 90°, for a total of 180°. The new electron packets that originate from the new interaction are exactly equal to those that previously left, apart from the sign, because they're originated by the same excited wave, but have the spin rotated by 180°. Thus, as quantum mechanics states, the old packets get erased and the so-called wavefunction collapse takes place. This explains why every time an electron is subject to interaction its wave-packets are renewed, while the old ones disappear. All that pertains to the original electron is destroyed and only the newly created electron packets remain. What we call electron has moved from P₁ to P₂, and what remains of the energy, momentum and spin of the excited wave is brought away by the new photon issuing from P₁. This new photon has positive energy, as the balance shows; hence it's emitted toward the future. While the two interactions take place at different leading times, in terms of the coordinate time they're contemporaneous and the process looks as if the incoming photon had simply been scattered by the interaction with the electron.

This is a simple description of what happens during the interaction. Regarding the back-coming wave-packet, not always it can successfully interact with the excited wave, because there are conservation laws to be fulfilled and because not all photon spin directions are allowed. In such cases the wave-packet gets partially reflected. The reflected packet possesses energy and momentum opposite to the one that previously left P₁, because it's a reflection of the one that comes from the future, and the spin is such that on arriving at P₂ the packet undoes what had previously been done (beware: the change of sign of the energy and momentum has nothing to do with the change of sign of the wave). Therefore, the photon that had produced the interaction at P₂ returns to its original state and moves on along its original path as if nothing had happened.