Il momento angolare in meccanica quantistica

Come il resto della meccanica quantistica, il momento angolare è molto complicato. Qui considereremo semplicemente alcune sue caratteristiche.

Esaminiamo brevemente la definizione di momento angolare. Dato un oggetto con quantità di moto p = m · v, sia r la distanza che lo separa da un un punto O. In tal caso il momento angolare J dell'oggetto rispetto ad O è

J = r x p.

Il vettore J è ortogonale al piano individuato dai vettori r e p, ed è diretto nella direzione definita come segue: se ad esempio r punta a sud e p ad est, allora J punta verso l'alto. La sua lunghezza è il prodotto delle lunghezze dei vettori r e p per il seno dell'angolo θ tra di essi, cioè

J = m · r · v · sin( θ ).

Dato un sistema costituito da molti oggetti, i loro momenti angolari si sommano vettorialmente. Se un sistema è isolato, il momento della quantità di moto totale è conservato, ossia esso è costante nel tempo. Un semplice esempio classico di conservazione del momento angolare totale è quello di una trottola in rotazione. Se non fosse per l'attrito e per l'effetto torcente esercitato dalla forza di gravità, la trottola continuerebbe a ruotare con la stessa velocità attorno allo stesso asse. L'azione torcente agisce in direzione ortogonale rispetto al momento angolare, ed orizzontalmente, non verticalmente. Per tale ragione la trottola precede attorno alla linea verticale anziché cadere. Un altro esempio è costituito dal giroscopio. In esso, a motivo della conservazione del momento angolare, la parte ruotante mantiene costantemente la stessa direzione nello spazio.

Classicamente il momento angolare può avere qualsiasi valore e puntare in qualsiasi direzione. Nella meccanica quantistica esso deve soddisfare la relazione imposta dal principio di indeterminazione

Δφ · ΔJ = h / ( 2 · π ).

dove φ ('fi'), l'angolo che descrive il moto dell'oggetto sul piano ortogonale a J, costituisce la sua variabile coniugata. In una situazione stazionaria come quella di un elettrone orbitante il nucleo di un atomo, la proiezione del suo momento angolare lungo una direzione privilegiata, come quella individuata da un campo magnetico, può assumere solamente valori interi multipli di h / ( 2 · π ), mentre l'angolo φ è completamente indeterminato. Quando si parla del momento angolare orbitale di un elettrone in un atomo si usa comunemente il simbolo l, mentre con m si indica la proiezione del momento angolare lungo l'asse privilegiato. Tuttavia l non rappresenta il momento angolare orbitale totale dell'elettrone, ma semplicemente la sua massima proiezione lungo una direzione privilegiata. La proiezione m può assumere 2 · l + 1 valori interi compresi tra gli estremi −l ed l:

m = –l, –l + 1, ... 0, ... l – 1, l.

Ad esempio, se l = 1, ci sono 2 · l + 1 = 3 possibili proiezioni, ossia

m = –1, 0, 1.

Data una massima proiezione di un momento angolare, come l, la teoria quantistica fornisce il seguente valore per il suo quadrato:

(15.1): l · ( l + 1 ).

Le particelle elementari possono avere un momento angolare intrinseco, chiamato spin. Classicamente esso rappresenta una rotazione della particella attorno ad un suo asse di simmetria. Data una direzione privilegiata, lo spin delle particelle elementari può assumere, in unità h / ( 2 · π ), solo valori interi oppure semi-interi. Le particelle con spin semi-intero sono generalmente chiamate fermioni (nome che deriva da Fermi), quelle con spin intero sono chiamate bosoni (nome derivante da Bose). Si opera una distinzione perché le due classi manifestano comportamenti statistici differenti. Protoni, neutroni ed elettroni sono esempi di fermioni ed hanno spin s = ½. Naturalmente, secondo la (15.1) il quadrato dello spin di una tale particella è s² = ½ · ( ½ + 1 ) = ¾. I fotoni sono bosoni, con spin s = 1 e il loro quadrato è s² = 1 · ( 1 + 1 ) = 3. I fermioni possiedono la proprietà secondo la quale non ne possono esistere due con le stesse caratteristiche fisiche, rappresentate dai numeri quantici loro associati. Questa condizione è simile a quella secondo cui due oggetti non possono occupare lo stesso volume. Le particelle con spin s = ½ possiedono un'altra caratteristica peculiare che si manifesta quando sono soggette a rotazione. Ecco come funziona. Consideriamo un pacchetto di onde e ruotiamolo di un angolo θ. Il fatto straordinario è che il pacchetto subisce una rotazione di solo metà angolo, cioè di θ / 2. Si riottiene il pacchetto originale solo dopo una rotazione di 720°. Una rotazione di 360° invece produce un pacchetto di onde le cui ampiezze hanno segni opposti rispetto agli originali. Matematicamente questo comportamento è conseguenza del fatto che le particelle con spin s = ½ possono avere solo due componenti lungo l'asse privilegiato, cioè. s+ = +½ and s– = –½, ed associato allo spin vi è uno spazio spinoriale astratto bidimensionale. É in tale spazio che avvengono le mezze rotazioni.

Angular momentum in quantum mechanics

Angular momentum, like the rest of quantum mechanics, is very complicated. Here we shall merely consider some of its elementary features.

Let us briefly examine the definition of angular momentum. Given an object with momentum p = m · v, let r be the distance that separates it from a point O. Then the angular momentum J of the object with respect to O is

J = r x p.

The vector J is orthogonal to the plane defined by the vectors r and p, and its direction is such that if, for example, r points south and p points east, then J points up. Its length is the product of the lengths of the vectors r and p times the sine of the angle θ between them, i.e.

J = m · r · v · sin( θ ).

Given a system of several objects, their angular momenta add up vectorially. If the system is isolated, the total angular momentum is conserved, i.e., it doesn't vary with time. A simple classical example of conservation of the total angular momentum is that of a rotating top. Were it not for friction and the torque exerted by gravity, the top would continue to rotate with the same velocity and on the same axis. The action exerted by the torque is orthogonal to the total angular momentum, and horizontal, not vertical. For this reason the top precesses around the vertical line instead of falling down. Another example is a gyroscope, where due to the conservation of angular momentum, the spinning part constantly maintains the same direction in space.

Classically, angular momentum can have any value and point in any direction. In quantum mechanics it must satisfy the uncertainty relation

Δφ · ΔJ = h / ( 2 · π ).

where φ ('phi'), the angle that describes the motion of the object on the plane orthogonal to J, is its conjugate variable. In a stationary situation, like that of an electron orbiting a nucleus of an atom, the projection of its angular momentum along a privileged direction, like the one individuated by a magnetic field, can only be an integer multiple of h / ( 2 · π ), while the angle φ is completely undetermined. In talking about the orbital angular momentum of an electron in an atom, the symbol l is commonly used, while m is the projection of the angular momentum along the privileged axis. However, l does not represent the total orbital angular momentum of the electron, but merely its maximum projection along the privileged direction. The projection m can have any of the 2 · l + 1 integer values that lie between its extremes −l and l:

m = –l, –l + 1, ... 0, ... l – 1, l.

For instance, if l = 1, there are 2 · l + 1 = 3 possible projections, namely

m = –1, 0, 1.

Given the maximum component of an angular momentum, like l, quantum theory gives the following value for its square:

(15.1): l · ( l + 1 ).

Elementary particles may possess non-zero intrinsic angular momentum, which is called spin. Classically this can be viewed as due to the rotation of the particle around its own axis of symmetry. Given a privileged direction, the spin of the elementary particles can be, in unit h / ( 2 · π ), either integer or semi-integer. Particles with half-integer spin are generically called fermions (from Fermi), those with integer spin are called bosons (from Bose). The distinction is made because the two classes manifest different statistical behaviors. Protons, neutrons, and electrons are fermions, and have spins s = ½. Of course, according to (15.1), the square of their spin is s² = ½ · ( ½ + 1 ) = ¾. Photons are bosons, with spin s = 1, and their square is s² = 1 · ( 1 + 1 ) = 3. Fermions have the property that there cannot be two of them with the same physical characteristics, represented by their associated quantum numbers. This condition is similar to the one according to which two objects cannot occupy the same volume. Particles with spin s = ½ also possess another peculiar property that manifests itself when they are subject to rotations. Here is how it works. Consider the wave-packet of an electron and subject it to a rotation of an angle θ. The amazing fact is that the packet appears to rotate by only half that angle, namely by θ / 2. The original wave-packet is obtained back only after a rotation of 720°. A rotation of 360° produces instead a wave-packet whose amplitudes have signs opposite with respect to the original ones. Mathematically this behavior is a consequence of the fact that particles with spin s = ½ can have only two possible spin components along a privileged axis, i.e. s+ = +½ and s– = –½, and associated to the spin s = ½ there is an abstract two-dimensional spinor space. It's in that space that the half-rotations take place.