Il principio di indeterminazione

Nei capitoli che seguono esploreremo alcuni aspetti della fisica quantistica, senza entrare nei dettagli dei calcoli. Il primo aspetto che andremo a considerare è il principio di indeterminazione di Heisenberg.

Prima della venuta della meccanica quantistica si credeva che non ci fosse alcuna limitazione all'accuratezza delle misure di posizione e quantità di moto, l'accuratezza dipendendo dalla precisione degli strumenti. Secondo il principio di Heisenberg, invece, non tutte le misurazioni possono essere eseguite indipendentemente con qualsiasi grado di precisione. Per esempio, data la posizione x e la quantità di moto p_x di una particella, le incertezze Δx e Δp_x delle misurazioni non possono essere rese piccole a piacere, ma valgono le seguenti relazioni:

(14.1): Δx · Δp_x ≥ h / ( 2 · π ),

dove h è la costante di Planck. In termini del vettore di propagazione k_x (ricorda che p_x = h · k_x / ( 2 · π )), la relazione è la seguente:

(14.2): Δx · Δk_x ≥ 1.

Le variabili per le quali valgono queste relazioni sono dette coniugate. Tra le altre, qualsiasi coordinata è coniugata della quantità di moto lungo la stessa direzione, ed il tempo è coniugato dell'energia. Naturalmente, la misura fatta su una variabile non influenza quella fatta su un'altra variabile che non sia coniugata con la prima.

Esaminiamo il principio in maggiore dettaglio. Un modo di considerarlo è il seguente: qualsiasi misura di posizione o velocità di una particella richiede un qualche tipo di interazione, la quale altera il suo stato di moto e la sua posizione, così che ogni susseguente misurazione è influenzata da quella precedente. Per esempio, una misura molto accurata di posizione richiede l'uso di fotoni di breve lunghezza d'onda, il che significa alta energia: ma maggiore è l'energia del fotone e maggiore è anche l'alterazione dello stato della particella. Questa visione del principio di indeterminazione, però, è parziale e può dare una falsa idea della fisica che ne è coinvolta, perché in realtà l'incertezza non è semplicemente l'incapacità di compiere misure accurate, ma è parte della natura della materia. Per comprendere meglio il principio di indeterminazione dobbiamo considerare la descrizione che ne fa la meccanica quantistica.

Abbiamo già visto che ad ogni particella di energia E e quantità di moto p sono associate una frequenza ω ed un vettore di propagazione k. Se queste rappresentassero tutto ciò che c'è da dire sullo stato della particella, allora la sua energia e la sua quantità di moto sarebbero perfettamente determinate, le loro incertezze sarebbero nulle e, in accordo con il principio di indeterminazione, la posizione nello spazio-tempo sarebbero completamente indefinite perché le oscillazioni si estenderebbero senza limiti. Il grafico (a) qui sotto descrive questa situazione lungo un asse arbitrario.

In realtà, le particelle sono caratterizzate da pacchetti di onde come quello mostrato nel grafico (b). Il grafico mostra solo parte di come il quadro reale dovrebbe apparire, poiché le onde sono rappresentate da numeri complessi, cioè da coppie di numeri, mentre il grafico mostra il comportamento di solo una di tali ampiezze d'onda. Nella situazione (b) una misura di posizione produce un qualsiasi valore compreso entro l'estensione dell'onda, e la probabilità di ottenere un valore di posizione specifico dipende dall'ampiezza dell'onda in quella posizione. Consideriamo ancora il grafico (b): qual'è il valore del vettore di propagazione o, equivalentemente, il numero di oscillazioni associate a tale onda? La matematica mostra che un comportamento come quello mostrato nella figura si può ottenere solo sovrapponendo onde con varie ampiezze e fasi, con vettori di propagazione contenuti in un certo intervallo, come appare nel grafico (c). In termini matematici, le ampiezze del vettore di propagazione sono le trasformate di Fourier delle ampiezze rappresentate nel grafico (b), e la matematica ci dice che quanto più stretto è il pacchetto delle onde in termini di coordinate, tanto più largo è quello associato al vettore di propagazione e viceversa, con la seguente relazione tra le incertezze:

Δx · Δk_x = 1,

Ora compare un'eguaglianza invece di una disuguaglianza. L'ineguaglianza dell'equazione (14.2) è dovuta all'imperfezione della misura. Questa relazione matematica esistente tra le ampiezze d'onda spiega adeguatamente la restrizione imprescindibile imposta dal principio di indeterminazione e mostra che il nesso esistente tra le incertezze di posizione e di quantità di moto ha una chiara interpretazione matematica. Incertezza e comportamento ondulatorio vanno a braccetto, l'una implica l'altra e viceversa, e da questo si può comprendere che le relazioni (14.1) sono la prova che le particelle possiedono proprietà ondulatorie. Perciò, le particelle manifestano una duale proprietà, ossia si comportano macroscopicamente come particelle, ma a livello microscopico come onde.

Un'altra proprietà dei pacchetti d'onda è il fatto che, come si propagano nel tempo, essi continuano ad espandersi. All'occorrenza della successiva l'interazione la particella assume una nuova posizione, una nuova quantità di moto e nuove incertezze Δx' e Δp_x'. In altre parole, ha origine un nuovo pacchetto di onde, mentre quello vecchio scompare. A sua volta, non appena formato, anche il nuovo pacchetto prende ad allargarsi. Il fatto che il primo pacchetto scompaia quando se ne crea un altro costituisce uno dei motivi che ha indotto gli scienziati a credere che le onde associate alle particelle non siano reali, ma semplicemente strumenti matematici utili per i calcoli.

The uncertainty principle

In the following chapters we'll explore some aspects of quantum physics without going into the details of the calculations. The first aspect we are going to consider is the Heisenberg uncertainty principle.

Before the advent of quantum mechanics it was believed that there was no limitation on the accuracy of the measurements of positions and momenta, the accuracy depending on the precision of the instruments. According to the Heisenberg principle, instead, not all measurements can be carried out independently with any accuracy. For example, given the position x and the momentum p_x of a particle, the uncertainties Δx and Δpx of the measurements cannot be made small at will, but the following relation holds:

(14.1): Δx · Δp_x ≥ h / ( 2 · π ),

where h is Planck's constant. In terms of the propagation vector k_x (remember that p_x = h · k_x / ( 2 · π )), the relation reads

(14.2): Δx · Δk_x ≥ 1.

The variables for which this relation holds are said to be conjugate. Among others, any coordinate is conjugate to the momentum along the same direction, and time is conjugate to energy. Of course, a measurement on a variable does not affect the measurement on a variable that is not conjugate to the first one.

Let us examine the principle in more detail. One way of viewing it is the following: any measurement of the position or velocity of a particle requires some sort of interaction, which alters its state of motion and position, so that any subsequent measurement is influenced by the previous one. For example, a very accurate measurement of the position requires the use of photons of short wavelength, which means of high energy, but the higher the energy of the photon and the greater is the alteration of the particle state. This viewing of the uncertainty principle, though, is partial and misleading, because in reality uncertainty isn't simply the incapacity of making accurate measurements, but is part of the nature of matter. In order to understand better the uncertainty principle we must consider the description quantum mechanics gives.

We have already seen that to any particle of energy E and momentum p are associated a frequency ω and a propagation vector k. If this is all there is to say about the state of the particle, then its energy and momentum is perfectly determined, their uncertainties are null and according to the uncertainty principle the position in space and time are completely undefined because the oscillations extend without limit. Graph (a) here below describes this situation along an arbitrary axis.

In reality particles are characterized by wave packets like the one shown on graph (b). The graph shows only part of what the true picture looks like, since waves are represented by complex numbers, i.e. by pairs of numbers, while the graph shows the behavior of only one of such wave amplitudes. In situation (b) a measurement of position gives any value within the extension of the wave, and the probability of finding a specific value is function of the amplitude of the wave at that position. Given the picture (b), what is the value of the propagation vector, or equivalently, the number of oscillations associated to it? Mathematics shows that a pattern like the one shown in the graph can only be obtained by superposing waves with various amplitudes and phases, whose propagation vectors are contained in some interval, as shown in graph (c). In mathematical terms, the propagation vector amplitudes are the Fourier transforms of the position amplitudes, and mathematics says that the narrower the coordinate packet, the larger is the one associated to the propagation vector, and viceversa, with the following relation between the uncertainties:

Δx · Δk_x = 1,

with an equality instead of a inequality. In equation (14.2) the inequality is due to the imperfection of an actual measurement. The mathematical relation between the coordinate and the momenta amplitudes properly explains the unavoidable restriction imposed by the uncertainty principle and shows that the connection between the uncertainty of position and that of momentum has a clear mathematical interpretation. Uncertainty and wave-like behavior go hand in hand, one implies the other and viceversa, and one can understand the uncertainty relations (14.1) as proof that particles possess wave-like properties. Therefore, particles manifest a dual property, i.e. they effectively behave macroscopically like particles, but from the microscopic point of view they act like waves.

Another property of the wave packets is the fact that as they propagate in time they keep spreading. However, whenever an interaction occurs, a new position in space and time is established within new uncertainties Δx' and Δp_x'. In other words, a new packet originates, while the old one disappears. Afterwards, the newly formed wave packet in its turn starts spreading. The fact that the first packet disappears when a new one is created is one of the behaviors that led scientists to believe that the waves associated to the particles are just mathematical tools, not real waves.