Effetto Compton – seconda parte

In precedenza abbiamo considerato l'effetto Compton dal punto di vista della teoria del tempo guida (TG). In tale descrizione l'interazione di un fotone con un elettrone produce due onde elettroniche, una per ogni direzione del tempo. In seguito, un'onda elettronica proveniente dal futuro interagisce con la discontinuità che costituisce il residuo dell'interazione precedente e dà origine a due nuove onde elettroniche, le quali cancellano quelle vecchie, ed un fotone, il quale completa l'effetto Compton (vedi L'effetto Compton).

Ora vogliamo considerare la descrizione in maggior dettaglio, in particolare per quanto riguarda l'energia-impulso e la forma delle onde elettroniche. Quest'analisi mostrerà che in questa teoria le onde elettroniche non soddisfano l'equazione di Dirac per una semplice ragione: le soluzioni dell'equazione di Dirac hanno lo scopo di provvedere mezzi atti a calcolare probabilità, mentre quelle qui considerate rappresentano le vere onde associate alle particelle elementari.

Consideriamo le energie e le quantità di moto coinvolte nel processo. Per semplicità ci poniamo nel riferimento in cui le quantità di moto dell'elettrone e del fotone incidente sono uguali ma di segno opposto. Se chiamiamo (E_e, p_e) e (E_f, p_f) le loro energie e quantità di moto, allora p_e = -p_f, e l'energia-impulso totale è (E_T, p_T) = (E_e + E_f, 0).

Sebbene a riposo, l'energia che ne risulta dopo la prima interazione è ovviamente maggiore di quella del solo elettrone, ossia maggiore della massa di un elettrone moltiplicata per c². (Nota: E_e non è uguale alla massa di un elettrone a riposo moltiplicata per c², perché la quantità di moto p_e è diversa da zero).

Questo non dovrebbe sorprendere, poiché ciò che abbiamo considerato fino ad ora costituisce solo parte dell'effetto Compton osservabile. Fino a questo punto è stato assorbito un fotone, ma non è stato emesso alcunché; di conseguenza la risultante energia totale è maggiore di quella di un elettrone a riposo. L'energia extra risulterà necessaria per emettere un fotone al termine del processo.

Un risultato importante consegue da questo semplice calcolo: Il fatto che la combinazione delle onde fotonica ed elettronica nel punto di interazione produca un aumento dell'energia a riposo e si abbia l'improvviso arresto dell'onda fotonica, con la conseguente emissione di due onde elettroniche, mostra che l'etere non può accettare energie (a riposo) diverse da quelle di un insieme di valori ammissibili.

In altre parole, poiché in termini di onde energia significa frequenza, l'etere non può accettare qualsiasi frequenza lungo le direzioni di tipo tempo, ma solo quelle associate alle particelle esistenti in natura. Ciò spiega perché le particelle possiedono energie a riposo specifiche, ben definite. Lungo le direzioni caratterizzate dalla velocità della luce invece non c'è tale restrizione.

Perciò è la combinazione delle onde, con la conseguente produzione di frequenze inammissibili, che produce l'improvviso arresto dell'onda fotonica e l'emissione delle due nuove onde elettroniche.

Nel capitolo sull'effetto Compton abbiamo visto che il fotone incidente ha due fronti, uno puntante all'indietro ed un altro in avanti nel tempo. Dopo l'interazione il fotone non esiste più, ma due nuovi fronti d'onda si stanno muovendo, quelli associati alle due nuove onde elettroniche, uno verso il passato e l'altro verso il futuro. Di conseguenza il processo conserva il numero di fronti d'onda (quello associato all'onda dell'elettrone incidente non viene alterato).

Un'altra conseguenza del fatto che l'etere ammette solo frequenze specifiche è che l'ampiezza delle onde prodotte dall'interazione rimane costante. Infatti, la serie di Fourier dell'onda lungo qualsiasi direzione di moto richiede che l'ampiezza dell'onda non cambi affinché sia composta da una sola frequenza.

Questo appare piuttosto strano, perché nel mondo macroscopico, come le onde si espandono, la loro ampiezza diminuisce; è una questione di conservazione dell'energia. Tale legge non si applica qui, perché l'energia è un concetto legato al numero di onde per unità di tempo. Evidentemente le leggi ordinarie non hanno alcun significato in questa situazione e non vanno applicate. La legge imperativa da applicare qui è che lungo le direzioni di tipo tempo uscenti dal punto di emissione solo frequenze specifiche sono ammesse.

Ciò spiega perché nella meccanica classica le ampiezze delle onde elettroniche non influenzino la fisica, il che è espresso dal fatto che non appaiono nelle equazioni, mentre in meccanica quantistica esse devono essere normalizzate. Perciò, in questo scenario in cui non si parla di probabilità, le ampiezze delle onde sono grandezze fisiche immutabili.

Qual'è la forma dell'onda che si diparte dal punto di interazione? Nel sistema di riferimento in cui (E, p) = (E_e + E_f, 0), la direzione lungo la quale l'elettrone si può muovere deve essere tale che alla fine del processo le leggi di conservazione dell'energia e della quantità di moto (come pure dello spin) debbano essere soddisfatte.

Per ottenere questo risultato e far sì che tra l'energia e la quantità di moto del fotone uscente esista la relazione E = | p | ∙ c, il fotone uscente deve avere la stessa energia di quello entrante. In altre parole, l'insieme di tutte le possibili quantità di moto, sia del fotone che dell'elettrone (si rammenti che p = p_e = -p_f), descrive una sfera nello spazio della quantità di moto, e le proiezioni delle quantità di moto lungo una qualsiasi direzione spaziale variano da -| p | a | p |.

Corrispondentemente, lungo una qualsiasi direzione spaziale la velocità dell'elettrone varia da -v a v, con v = | p | / ( m_o ∙ γ ), dove m_o è la massa dell'elettrone a riposo e γ = 1 / √( 1 - v² ). Di conseguenza, visto da questo sistema di riferimento il fronte dell'onda elettronica si propaga come la superficie di una sfera che si va espandendo.

The Compton effect – part 2

In another section we considered the Compton effect from the point of view of the leading time (LT) theory. In that description, a photon interaction with an electron produces two electron waves along both time directions. Subsequently, an electron wave coming from the future interacts with the discontinuity remnant of the previous interaction and gives rise to two new electron waves, which erase the old ones, and a photon that completes the Compton effect (see The Compton effect).

Now we want to consider the description in more detail, in particular with regard to energy-momentum and the shape of the electron waves. The analysis will show that in this theory the electron waves don't satisfy the Dirac equation, and the reason is simple: the solutions to the Dirac equation are meant to provide some tools apt to calculate probabilities, while those considered here should represent the true waves associated to the elementary particles.

Le's consider the energies and momenta involved in the process. For simplicity we work in the frame in which the momenta of the electron and the incoming photon have equal but opposite values. If we call (E_e, p_e) and (E_p, p_p) their energies and momenta, then p_e = -p_p, and the total energy-momentum is (E_T, p_T) = (E_e + E_p, 0).

Although at rest, the resulting (total) energy after the first interaction is obviously greater than the electron energy, i.e. greater than the electron mass times c². (Note: E_e isn't equal to the electron rest mass times c², because its momentum p_e is different from zero).

This shouldn't surprise, since what we have considered thus far constitutes only part of the observable Compton effect. Up to this point a photon has been absorbed, but nothing has been emitted; consequently the resulting total energy is greater than that of an electron at rest. The extra energy will be needed in order to emit a photon at the end of the process.

An important result comes out of this simple calculation: The fact that the merging of the photon and electron waves at the point of interaction produces an increase of the rest energy, with the abrupt stop of the photon wave and the emission of two electron waves, shows that the ether cannot accept (rest) energies different from those of an admissible set.

In other words, since in terms of waves energy means frequency, the ether can't accept any frequency along time-like directions, but only those associated to particles existing in nature. This explains why particles have well specified rest energies. Along null directions (along light rays), instead, there's no such limitation.

Hence, it's the merging of the waves, with its consequent production of inadmissible frequencies what produces the abrupt stopping of the photon wave and emission of two new electron waves.

In the chapter where we considered the Compton effect we saw that the incoming photon had two fronts, one pointing backward and another one forward. After the interaction the photon doesn't exist anymore, but two new wave fronts are moving, those associated to the two new electron waves, one moving backward, the other one forward. Consequently the process conserves the number of wave fronts (the wave front associated to the incoming electron isn't altered).

Another consequence of the fact that the ether admits only specific frequencies is that the amplitude of the waves produced by the interaction remains constant. In fact, a Fourier series of the waves along any direction of motion requires that the wave amplitudes remain unchanged for them to be composed of a single frequency.

This looks quite odd, because as waves expand in the macroscopic world their amplitudes decrease; it's a matter of conservation of energy. Such law doesn't apply here, because energy is a concept attached to the number of waves per unit of time. Evidently ordinary laws have no meaning in this realm, and don't apply. The stringent law here is that along any time-like direction issuing from the point of origin only specific frequencies are permitted.

This explains why in classical mechanics the amplitudes of the electron waves don't affect physics, which is expressed by the fact that they don't appear in any physical equation, while in quantum mechanics they require normalization. Therefore, in this scenario where we don't talk about probabilities, the wave amplitudes are unchangeable physical quantities.

What is the form of the wave issuing from the point of interaction? In the system of reference in which (E, p) = (E_e + E_p, 0), the directions along which the electron may move must be such that at the end of the process the laws of conservation of energy and momentum (and spin) are to be satisfied.

To get this and in order that the energy and momentum of the issuing photon be related by E = | p | ∙ c, the issuing photon must have the same energy as that of the incoming photon. In other words, the set of all possible momenta of both photon and electron (remember that p = p_e = -p_p) describes a sphere in momentum space, with the projections of the momenta along any spatial direction varying from -| p | to | p |.

Correspondingly, along any spatial direction the electron velocity varies from -v to v, with v = | p | / ( m_o ∙ γ ), where m_o is the electron rest mass and γ = 1 / √( 1 - v² ). Consequently, as seen from this system of reference, the electron wave front propagates like the surface of an inflating sphere.