La dilatazione del tempo

Avendo determinato che la velocità della luce è sempre la stessa in ogni direzione e in qualunque sistema di riferimento, a riposo rispetto alla terra oppure no, ora andiamo a considerare il fatto che il concetto di tempo dipende dalla velocità dell'osservatore. Esso diventerà più chiaro considerando la seguente situazione ipotetica: un tuo amico si trova in un treno che viaggia con velocità v e, mentre il treno corre veloce, egli gioca con una palla di gomma facendola rimbalzare sul pavimento del treno. La palla scende, rimbalza e ritorna alla sua mano. Si può calcolare facilmente sia il tempo che la palla impiega per raggiungere il pavimento, che quello che impiega per ritornare nella mano del lanciatore. Se la distanza tra la mano dell'amico e il pavimento è L e la palla si muove con velocità w, allora il tempo necessario per raggiungere il pavimento o tornare indietro è t = L / w. Questa è una semplice conseguenza del fatto che L = w · t, la quale deriva dalla definizione di velocità. Questa è una situazione molto semplice. Consideriamone ora una ipotetica e maggiormente interessante.

Supponi che il tuo amico non stia giocando con una palla di gomma, ma con... fotoni, cioè con raggi di luce! Ipoteticamente egli getta un fotone a terra dove ha posto uno specchio. Il fotone viene riflesso e ritorna al punto di partenza. Quanto impiega il fotone a raggiungere lo specchio sul pavimento o a tornare indietro? L'equazione è la stessa della palla di gomma. Tutto ciò che devi cambiare è la velocità. Devi mettere la velocità della luce c al posto della velocità w della palla di gomma. Quindi il tempo è t = L / c. Anche fino a questo punto tutto è semplice.

Considera adesso la stessa situazione, ma vista da fuori. Supponi di essere presso un passaggio a livello e di vedere il tuo amico che gioca con il fotone. (Come ho già detto, questa è una situazione ipotetica. Il fatto che tu non possa vedere il fotone che si muove e viene riflesso dallo specchio è irrilevante, come è irrilevante il fatto che non puoi udire il ticchettio dell'orologio del tuo amico in auto). Supponi di voler calcolare quanto tempo impiega il fotone a raggiungere lo specchio sul pavimento o a tornare indietro. In questo caso il calcolo è un po' più complicato perché mentre il fotone scende oppure sale il treno si sposta orizzontalmente con velocità v. Dal tuo punto di vista il cammino che il fotone percorre per raggiungere lo specchio è più lungo di quello che vede il tuo amico nel suo sistema di riferimento. Visto da te il fotone viaggia lungo una traiettoria simile a quella visualizzata nel grafico riportato qui sotto, il quale mostra schematicamente le caratteristiche essenziali del problema.

Quanto è lungo il cammino da A a B? Il tratto verticale OA è uguale a L. Se chiamiamo t' il tempo necessario al fotone per raggiungere il pavimento secondo il tuo punto di vista e se il treno viaggia con velocità v, allora il tratto orizzontale è OB = v · t'. Poiché il treno è in movimento e la velocità della luce non cambia, dal tuo punto di vista è richiesto un tempo maggiore perché il fotone raggiunga lo specchio sul pavimento.

Calcoliamo la relazione che esiste tra i due tempi, quello del tuo amico sul treno e il tuo. Lo possiamo ottenere facilmente per mezzo del teorema di Pitagora, il quale afferma che, dato un triangolo AOB, rettangolo in O, come quello mostrato nella figura, il quadrato della lunghezza dell'ipotenusa AB è uguale alla somma dei quadrati dei due cateti OA e OB, cioè AB² = OA² + OB². In altre parole, AB = √( OA² + OB² ).

Ora, se applichiamo il teorema al nostro caso, essendo OA = L e OB = v · t', otteniamo per la distanza tra A e B la seguente espressione: AB = √[ L² + ( v · t' )² ]. Questo è il cammino espresso in termini della velocità del treno che il fotone deve compiere per raggiungere il suolo. In termini della velocità della luce lo stesso intervallo ha la seguente forma: AB = c · t'. Uguagliando i quadrati dei due termini esprimenti AB, √[ L² + ( v · t' )² ] e c · t', e manipolando un poco l'equazione che ne deriva, otteniamo l'equazione che esprime t' in termini di L. Il risultato è:

t' = L / √( c² – v² ).

Compiamo ora un ulteriore sforzo. Sostituiamo L con c · t, cioè esprimiamo la lunghezza L in funzione del tempo dell'amico e arrangiamo di nuovo la formula. Il glorioso risultato finale è:

t' = t / √( 1 – v² / c² ).

Sottolineo il fatto che questa formula è stata ottenuta considerando la semplice lunghezza L per quanto riguarda l'amico, ma prendendo in considerazione nel tuo caso il percorso obliquo AB che trae origine dal moto del treno. Per questa ragione, come ho già menzionato, nel tuo sistema di riferimento il tempo richiesto dal fotone per raggiungere il pavimento è più lungo di quello che si sperimenta nel riferimento dell'amico. Di quanto? Come puoi vedere dalla formula, dipende dal rapporto v / c. Quando il treno è fermo, v / c = 0 e i due tempi coincidono. Come il treno parte succede quanto segue:

v / c > 0,

1 – v² / c² < 1,

1 / √( 1 – v² / c² ) > 1 e t' > t.

Se la velocità del treno dovesse avvicinarsi a quella della luce, allora

v / c → 1,

1 – v² / c² → 0,

1 / √( 1 – v² / c² ) → ∞ e t' >> t.

Osserva che in questo esperimento concettuale dal punto di vista del tuo amico non è coinvolto alcuno spazio nella direzione del moto. Questo è il motivo per cui il calcolo è così semplice. Forse avrai anche notato che, ogni volta che menziono intervalli di spazio o di tempo, specifico anche il sistema di riferimento. Questo è dovuto al fatto che gli intervalli di tempo e di spazio nella direzione del moto dipendono dal sistema di riferimento.

Ora uno si potrebbe chiedere perché io non abbia continuato a lavorare con la palla di gomma anziché introdurre il fotone, essendo che l'equazione che stabilisce la relazione tra il tempo e la distanza è la stessa. La ragione è che, mentre la velocità della luce è indipendente dal sistema di riferimento (il risultato fondamentale ottenuto dall'esperimento di Michelson e Morley), ciò non vale nel caso della palla di gomma.

The time dilation

Having determined that the speed of light is always the same in any direction and from any point of view, whether one is at rest with respect to the earth or not, we're going to see now that the concept of time depends on the velocity of the observer. This concept will become more clear by considering a hypothetical situation. Suppose that your friend is on a train that is traveling with velocity v. While the train runs fast, he plays with a rubber ball, bouncing it on the train floor. The ball goes down and then bounces back to his hand. One can easily calculate the time it takes the ball to reach the floor and the time it takes to get back to the hand of the thrower. If the distance between your friend's hand and the floor is L and the ball travels with velocity w, than the time it takes to reach the floor or get back is t = L / w. This is a simple consequence of the fact that L = w ·t, which derives from the definition of velocity. This situation is very simple. Let us now consider a hypothetical, more interesting situation.

Suppose that your friend isn't playing with a rubber ball, but with... photons, that is, light! Hypothetically, he throws a photon to the floor where he put a mirror. The photon gets reflected and returns back to where it started. How long does it take for the photon to reach the floor, or to get back? The equation is the same as that of the rubber ball. All you need to change is the velocity, and put the speed of light c in place of the speed w of the rubber ball. Then the time is t = L / c. Also up to this point everything is very simple.

Consider now the situation as it's seen from another point of view. Suppose that you're near a train crossing, and see your friend playing with the photon. (As I said, this is a hypothetical situation. The fact that you cannot see the photon traveling and being reflected by the mirror is irrelevant, as was irrelevant the fact that you could not hear the ticks of your friend's clock in the car.) Suppose you want to calculate how long it takes for the photon to reach the mirror on the floor, or to get back (the duration is the same). The calculation is a little more difficult here, because, as the photon goes down, or up, the train moves horizontally with velocity v. From your point of view, the path the photon makes to reach the mirror is longer than the one seen from your friend's system of reference. As seen from you, the photon travels along a trajectory like the one shown on the graph below, which schematically shows the essential features of the problem.

How long is the path from A to B? The vertical path OA is still equal to L. If we call t' the time needed for the photon to reach the floor from your point of view and if the train travels with velocity v, then the horizontal path is OB = v · t'. Since the train is moving and the speed of light is the same in both frames, from your point of view it takes a longer interval of time for the photon to reach the mirror on the floor.

Let us calculate the relationship that exists between the two times, the one that applies to your friend on the train and the one relative to you. We can easily get it by means of Pythagoras' theorem, which says that, given a triangle AOB, squared in O, like the one shown on the figure, the square of the length of the hypotenuse AB is equal to the sum of the squares of the sides OA and OB, that is, AB² = OA² + OB². In other words, AB = √( OA² + OB² ).

Now, if we apply the theorem to our problem, since OA = L and OB = v · t', we obtain for the distance from A to B the following expression: AB = √[ L² + ( v · t' )² ]. This is the path expressed in terms of the velocity of the train that the photon has to make in order to reach the floor. In terms of the speed of light, the same interval has the following form: AB = c · t'. By equating the squares of the two terms that express AB, √[ L² + ( v · t' )² ] and c · t', and by manipulating the resulting equation a little bit, we obtain the relation that expresses t' in terms of L. The result is:

t' = L / √( c² – v² ).

Let us make now one last effort. We substitute L with c · t, that is, we express the length L in terms of your friend's time, and rearrange the formula again a little bit. The final, glorious result is:

t' = t / √( 1 – v² / c² ).

I stress that this formula has been obtained by taking into account the simple length L for what concerns your friend, but considering in your case the oblique path AB that arise from the motion of the train. For this reason, as I mentioned before, in your frame of reference the time the photon needs to get to the floor is longer than the one experienced in your friend's frame. By how much? As you can see from the formula, it depends on the ratio v / c. When the train is at rest, v / c = 0, and the two times coincide. On the other hand, as the train moves,

v / c > 0,

1 – v² / c² < 1,

1 / √( 1 – v² / c² ) > 1, and t' > t.

Should the velocity of the train get close to the speed of light, then

v / c →1,

1 – v² / c² → 0,

1 / √( 1 – v² / c² ) → ∞, and t' >> t.

Observe that in this conceptual experiment from the point of view of your friend there is no space involved in the direction of motion. This is the reason why the calculation is so simple. Perhaps you also noticed that almost every time that I mention a space or time interval I also specify the frame of reference. This is because the time intervals and the space intervals in the direction of motion are frame dependent.

One might ask why I didn't continue to work with the rubber ball and its speed instead of introducing the photon, as the equation that relates time and distance is the same in both cases. The reason is that, while the speed of light is frame independent (the fundamental result obtained by the Michelson and Morley experiment), this is not true in the case of the velocity of the rubber ball.