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Corrispondenza tra l'etere e l'universo fisico Nel capitolo precedente abbiamo visto come le lunghezze spaziali e temporali dipendono dalle lunghezze e dai periodi delle onde, mentre il tessuto dell'etere non è modificato dal cambiamento della direzione temporale. Ora considereremo la relazione che esiste tra un insieme di coordinate relative all'etere (le chiamiamo xμ) e le corrispondenti coordinate dell'universo fisico (che chiamiamo yν). Poiché le lunghezze dell'etere non sono influenzate dalle rotazioni che coinvolgono l'asse temporale, la metrica deve essere ordinaria euclidea, ossia in un sistema di coordinate ortogonali il quadrato della distanza dall'origine ad un punto P, caratterizzato dal vettore (x0, x1, x2, x3) deve essere data dal teorema esteso di Pitagora: (11.1): sx2 = ( x0 )2 + ( x1 )2 + ( x2 )2 + ( x3 )2, mentre nello spazio-tempo fisico lo stesso quadrato espresso in termini del vettore corrispondente (y0, y1, y2, y3) deve avere la forma minkowskiana: (11.2): sy2 = ( y0 )2 – ( y1 )2 – ( y2 )2 – ( y3 )2, se l'intervallo è di tipo tempo, oppure: (11.3): sy2 = ( y0 )2 + ( y1 )2 + ( y2 )2 – ( y3 )2, se è di tipo spazio. Le equazioni (11.2) e (11.3) si possono unificare in un'unica espressione nel modo che segue: (11.4): sy2 = | ( y0 )2 – ( y1 )2 – ( y2 )2 – ( y3 )2 |, dove le barre verticali significano che al valore dell'espressione contenuta nel loro interno deve essere attribuito il segno positivo. Usando il formalismo introdotto in La metrica di Minkowski l'equazione (11.1) può essere espressa in forma contratta come segue: (11.5): sx2 = eμν xμ xν, dove eμν è il tensore metrico dell'etere (si è introdotta una x come pedice della lunghezza s per ricordare che la stiamo esprimendo mediante le coordinate dell'etere), mentre una semplificazione simile dell'equazione (11.4) produce: (11.6): sy2 = | ημν yμ yν |, dove ημν è il tensore metrico di Minkowski relativo allo spazio-tempo fisico. Naturalmente si comprende che in entrambi i casi si deve operare la sommatoria sugli indici ripetuti μ e ν. Stabiliamo ora una relazione tra le coordinate dei due spazi. Consideriamo il caso in cui le coordinate fisiche siano a riposo rispetto all'etere (chiamiamo fondamentale un tale sistema). Se entrambe le coordinate sono ortogonali, allora si possono far coincidere, e in tal caso yμ = xμ. Supponiamo di sottoporre le coordinate fisiche ad una trasformazione di Lorentz: yμ' = Lμν xν, dove Lμν è la matrice che esprime tale trasformazione. In particolare, se il moto avviene lungo l'asse x1, con velocità v, allora: (11.7): y0' = ( x0 + v ∙ x1 / c ) ∙ γ , (11.8): y1' = ( x1 + v ∙ x0 / c ) ∙ γ , dove γ = 1 / √( 1 - v2 / c2 ), mentre le altre coordinate rimangono inalterate. Consideriamo adesso gli assi delle nuove xμ' e siano che rimangano paralleli a quelli delle yμ'. Essi non sono più ortogonali, ma si deve richiedere che siano preservate le unità di riferimento. Nell'etere, le trasformazioni che corrispondono a quelle delle coordinate fisiche sono le seguenti: (11.9): x0' = x0 ∙ cos( θ ) + x1 ∙ sen( θ ), (11.10): x1' = x1 ∙ cos( θ ) + x0 ∙ sen( θ ), dove θ = arctan( v / c ), cos( θ ) = 1 / √( 1 + v2 / c2 ), sen( θ ) = ( v / c ) / √( 1 + v2 / c2 ). Ciascun asse è soggetto ad un'ordinaria rotazione, ma in direzioni opposte, così che entrambi i termini che contengono la funzione sen( θ ) hanno lo stesso segno, positivo o negativo, a seconda della direzione della rotazione. Espresse in funzione della velocità v, le rotazioni (11.9) e (11.10) hanno la seguente espressione: (11.11): x0' = ( x0 + v ∙ x1 / c ) / √( 1 + v2 / c2 ), (11.12): x1' = ( x1 + v ∙ x0 / c ) / √( 1 + v2 / c2 ), con le inverse: (11.13): x0 = ( x0' - x1' ∙ v / c ) ∙ √( 1 + v2 / c2 ) / ( 1 - v2 / c2 ), (11.14): x1 = ( x1' - x0' ∙ v / c ) ∙ √( 1 + v2 / c2 ) / ( 1 - v2 / c2 ). Introducendo (11.13) e (11.14) in (11.7) e (11.8) si ottiene il seguente risultato: (11.15): y0' = x0' ∙ γ ∙ √( 1 + v2 / c2 ), (11.16): y1' = x1' ∙ γ ∙ √( 1 + v2 / c2 ), In conclusione, segliendo appropriatamente gli assi e le unità di misura, in generale esiste la seguente relazione tra le coordinate fisiche e quelle dell'etere: y0 = x0 ∙ Γ, y1 = x1 ∙ Γ, y2 = x2, y3 = x3, dove Γ = √[( 1 + v2 / c2 ) / ( 1 - v2 / c2 )] e v è la velocità del sistema fisico rispetto a quello fondamentale (cioè, quello dell'etere a riposo). Lungo la direzione di moto le lunghezze sono dilatate.
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Correspondence between the ether and the physical universe In the previous chapter we saw how the lengths in space and time depend on the wavelengths and periods of the waves, while the texture of the ether isn't affected by the changes of the time direction. Now we're going to consider the relationship that exists between a set of coordinates established on the ether (we call them xμ), and the corresponding ones on the physical universe (which we call yμ). Since on the ether lengths aren't affected by rotations involving the time axis, the metric has to be ordinary Euclidean, that is, in a system of orthogonal coordinates the square of the distance from the origin to a point P, characterized by the vector (x0, x1, x2, x3), has to be given by the extended Pythagoras theorem: (11.1): sx2 = ( x0 )2 + ( x1 )2 + ( x2 )2 + ( x3 )2, while in the physical space-time the same square in terms of the corresponding vector (y0, y1, y2, y3) has the Minkowskian form: (11.2): sy2 = ( y0 )2 – ( y1 )2 – ( y2 )2 – ( y3 )2, if the interval is time-like, or: (11.3): sy2 = ( y0 )2 + ( y1 )2 + ( y2 )2 – ( y3 )2, if it is space-like. Equations (11.2) and (11.3) can be combined into a unique expression as follows: (11.4): sy2 = | ( y0 )2 – ( y1 )2 – ( y2 )2 – ( y3 )2 |, where the vertical bars mean that the resulting value of what lies inside them has to be attributed the positive sign. Using the formalism introduced in The Minkowski metric, equation (11.1) can be expressed in a contracted form, like: (11.5): sx2 = eμν xμ xν, where eμν is the ether metric tensor (the subscript x is introduced just to remind us that we are dealing with the ether coordinates), while a similar simplification in form of equation (11.4) produces: (11.6): sy2 = | ημν yμ yν |, with ημν being the Minkowski metric tensor of the physical space-time. Of course, it is understood that in both cases summation is to be carried out over the repeated indices μ, and ν. Now, let us establish a relationship between the coordinates of the two spaces. Consider the case in which the physical coordinates are at rest with respect to the ether (we call such a system fundamental). If the coordinates are both orthonormal, then they can be made to coincide, and in that case yμ = xμ. Suppose that the physical coordinates be subjected to a Lorentz transformation: yμ' = Lμν xν, where Lμν is the matrix that expresses the transformation. In particular, if the motion occurs along the x1 direction with velocity v, then: (11.7): y0' = ( x0 + v ∙ x1 / c ) ∙ γ , (11.8): y1' = ( x1 + v ∙ x0 / c ) ∙ γ , where γ = 1 / √( 1 - v2 / c2 ), while the other coordinates remain unchanged. Consider now the axes of the new xμ', and require that they be parallel to those of the yμ'. They are no longer orthogonal, but it must be required that the referencing units be preserved. The corresponding ether transformations are the following: (11.9): x0' = x0 ∙ cos( θ ) + x1 ∙ sin( θ ), (11.10): x1' = x1 ∙ cos( θ ) + x0 ∙ sin( θ ), where θ = arctg( v / c ), cos( θ ) = 1 / √( 1 + v2 / c2 ), sin( θ ) = ( v / c ) / √( 1 + v2 / c2 ). Each axis is subject to an ordinary rotation, but on opposite directions, so that both terms with the sin( θ ) have the same sign, either positive or negative, depending on the direction of rotation. In terms of the velocity v, the above rotations have the following espression: (11.11): x0' = ( x0 + v ∙ x1 / c ) / √( 1 + v2 / c2 ), (11.12): x1' = ( x1 + v ∙ x0 / c ) / √( 1 + v2 / c2 ), with inverses: (11.13): x0 = ( x0' - x1' ∙ v / c ) ∙ √( 1 + v2 / c2 ) / ( 1 - v2 / c2 ), (11.14): x1 = ( x1' - x0' ∙ v / c ) ∙ √( 1 + v2 / c2 ) / ( 1 - v2 / c2 ). Substitution of (11.13) and (11.14) into (11.7) and (11.8) produces the following result: (11.15): y0' = x0' ∙ γ ∙ √( 1 + v2 / c2 ), (11.16): y1' = x1' ∙ γ ∙ √( 1 + v2 / c2 ), In conclusion, with appropriately chosen axes and measuring units, the following general relationship exists between the physical and the ether coordinates: y0 = x0 ∙ Γ, y1 = x1 ∙ Γ, y2 = x2, y3 = x3, where Γ = √[( 1 + v2 / c2 ) / ( 1 - v2 / c2 )], and v is the velocity of the physical system with respect to the fundamental one (ether at rest). Along the direction of motion with respect to the ether, the lengths are dilated.
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