Le equazioni di secondo grado sono equazioni scritte nella forma:
$$ax^2+bx+c=0$$
con \(a \in R_{0}\) e \(b,c \in R\).
Le soluzioni di questa equazione avvengono tramite la famosa formula risolutiva:
$$x_{1,2}=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
Non e' pero' molto chiaro come si arriva a questa formula. Prima quindi di procedere al calcolo delle
soluzioni vediamo il procedimento generale che ci permette di ottenere questa formula. Partiamo quindi da:
$$ax^2+bx+c=0$$
portiamo \(c\) al secondo menbro:
$$ax^2+bx=-c$$
quindi avendo supposto \(a \not = 0\) possiamo dividere tutti e due i membri per \(a\) ottenendo:
$$x^2 + \dfrac{b}{a}x = -\dfrac{c}{a}$$
ora sommando membro a membro:
$$x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{b^2}{4a^2}= -\dfrac{c}{a} + \dfrac{b^2}{4a^2}$$
otteniamo al primo membro il quadrato di un binomio:
$$\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{b^2 - 4ac}{4a^2}$$
essendo il primo membro sicuramente positivo e il denominatore del secondo membro parimente positivo, si avra' che posto
$$\Delta = b^2-4ac$$
allora se
\(\Delta>0\) si avranno due soluzioni reali e distinte
\(\Delta=0\) si avranno due soluzioni reali coincidenti
\(\Delta<0\) si avrˆ una equazione impossibile
Le soluzioni si ottengono osservando che se:
$$\Delta >=0$$
possiamo estrarre la radice quadrata ad entrambi i membri e con semplici passaggi algebrici otterremo:
$$x_{1,2}=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
che e' proprio la formula risolutiva scritta sopra.
Passiamo quindi alla ricerca delle soluzioni dell'equazione di secondo grado.
Le soluzioni, per i valori inseriti, sono riportate nella seguente tabella: