Le equazioni di primo grado sono uguaglianza scritte nella forma:
$$ax-b=0$$
si noti che la lettera x altrimenti della incognita della equazione ha come esponente il numero uno, ed e' per questo
fatto che prende il nome di equazione di primo grado
I concetti principali che riguardano le equazioni di primo grado sono i seguenti:
l'espressione che si trova a sinistra dell'uguale prende il nome di primo mebro mentre quello che si trova a
destra secondo membro.
la soluzione di una equazione di primo grado data da quel numero reale che sostituito alla incognita rende
il primo membro uguale al secondo membro. Ad esempio la soluzione della equazione:
$$ 5x-7=0$$
e' data dal numero reale \(\frac{7}{5}\) in quanto
$$5 \frac{7}{5}-7=0$$
due equazioni di primo grado si dicono equivalenti se hanno la medesima soluzione
una equazione di primo grado si dice impossibile se non ammette alcuna soluzione ad esempio
$$ 0x-8=0$$
una equazione di primo grado si dice indeterminata se ammette infinite soluzioni ad esempio
$$ 0x+8=8$$
per risolvere una equazione di primo grado si utilizzano i seguenti principi di equivalenza:
aggiungendo o sottraendo ai due menbri di una equazione di primo grado uno stesso numero o una stessa
espressione algebrica che non perda mai di significato si ottiene una equazione equivalente a quella data. Ad
esempio data l'equazione:
$$ 5x-10=0$$
che ha per soluzione \(x=2\), aggiungendo ad entrambi i membri il numero 3 otteniamo l'equazione:
$$ 5x-10+3=+3$$
che ha anch'essa per soluzione \(x=2\)
moltiplicando o dividendo i due membri di una equazione di primo grado per uno stesso numero
diverso da zero si ottiene una equazione equivalente a quella data. Ad esempio data l'equazione:
$$ 5x-10=0$$
che ha per soluzione \(x=2\), moltiplicando entrambi i membri per il numero 3 otteniamo l'equazione:
$$ 15x-30=0$$
che ha anch'essa per soluzione \(x=2\)
la tecnica consiste nell'applicare ripetutamente i due principi visti cercando di ottenere via via equazioni sempre piu'
semplici.
Da quanto detto la soluzione della equazione di primo grado
$$ax-b=0$$
con \(a \not = 0 \)si pu˜ ottenere con i seguenti passaggi:
applicando il primo princio di equivalenza aggiungiamo il numero b ai due membri dell'equazione, cio' equivale
a trasposrtare il numero b a destra dell'uguale cambito di segno. Si ottiene:
$$ ax=b$$
applicando il secondo principio di equivalenza dividiamo entrambi i membri per il numero a che
ricordiamo \( \not = 0 \) ottenendo:
$$ \frac{ax}{a}=\frac{b}{a}$$
da cui semplificando si ottiene:
$$x=\frac{b}{a}$$
Vediamo ora un piccolo test per vedere se hai capito esattamente la teoria appena esposta.
Rispondi correttamente alle seguenti domande:
Affinche' l'equazione ammetta una soluzione se \( b \not = 0 \) il valore di a deve essere:
Se \( a=0 \) allora l'equazione indeterminata se il valore di b e':
La soluzione della equazione \(3x-6=0 \) e' data da: